Wie teilen Sie (i + 8) / (3i -1) trigonometrisch auf?

# (i + 8) / (3i-1) #

# = (8 + i) / (- 1 + 3i) #

Zunächst müssen wir diese beiden Zahlen in trigonometrische Formen umwandeln.

Ob # (a + ib) # ist eine komplexe Zahl, # u # ist seine Größe und #Alpha# ist dann der Winkel # (a + ib) # in trigonometrischer Form wird als geschrieben #u (cosalpha + isinalpha) #.

Größe einer komplexen Zahl # (a + ib) # ist gegeben durch#sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # und sein Winkel ist gegeben durch # tan ^ -1 (b / a) #

Lassen # r # sei die Größe von # (8 + i) # und # theta # sei sein Winkel.

In der Größenordnung von # (8 + i) = sqrt (8 ^ 2 + 1 ^ 2) = sqrt (64 + 1) = sqrt65 = r #

Winkel von # (8 + i) = Tan ^ -1 (1/8) = Theta #

#implies (8 + i) = r (Costheta + Isintheta) #

Lassen # s # sei die Größe von # (- 1 + 3i) # und # phi # sei sein Winkel.

In der Größenordnung von # (- 1 + 3i) = sqrt ((- 1) ^ 2 + 3 ^ 2) = sqrt (1 + 9) = sqrt10 = s #

Winkel von # (-1 + 3i) = Tan ^ -1 (3 / -1) = Tan ^ -1 (-3) = phi #

#implies (-1 + 3i) = s (Cosphi + isinphi) #

Jetzt,

# (8 + i) / (- 1 + 3i) #

# = (r (Costheta + isintheta)) / (s (Cosphi + isinphi)) #

# = r / s * (Costheta + Isintheta) / (Cosphi + Isinphi) * (Cosphi-Isinphi) / (Cosphi-Isinphi #

# = r / s * (costhetacosphi + isinthetacosphi-icosthetasinphi-i ^ 2sinthetasinphi) / (cos ^ 2phi-i ^ 2sin ^ 2phi) #

# = r / s * ((costhetacosphi + sinthetasinphi) + i (sinthetacosphi-costhetasinphi)) / (cos ^ 2 phi + sin ^ 2 phi) #

# = r / s * (cos (Theta-Phi) + Isin (Theta-Phi)) / (1) #

# = r / s (cos (Theta-Phi) + Isin (Theta-Phi)) #

Hier haben wir alles vorhanden, aber wenn hier die Werte direkt ersetzt werden, wäre das Wort für die Suche unordentlich #theta -phi # lasst uns zuerst herausfinden # theta-phi #.

# theta-phi = tan ^ -1 (1/8) -tan ^ -1 (-3) #

Wir wissen das:

# tan ^ -1 (a) -tan ^ -1 (b) = tan ^ -1 ((a-b) / (1 + ab)) #

#implies tan ^ -1 (1/8) -tan ^ -1 (-3) = tan ^ -1 (((1/8) - (-3)) / (1+ (1/8) (-3)))) #

# = tan ^ -1 ((1 + 24) / (8-3)) = tan ^ -1 (25/5) = tan ^ -1 (5) #

#implies theta -phi = tan ^ -1 (5) #

# r / s (cos (Theta-Phi) + Isin (Theta-Phi)) #

# = sqrt65 / sqrt10 (cos (tan ^ -1 (5)) + isin (tan ^ -1 (5))) #

# = sqrt (65/10) (cos (tan ^ -1 (5)) + isin (tan ^ -1 (5))) #

# = sqrt (13/2) (cos (tan ^ -1 (5)) + isin (tan ^ -1 (5))) #

Dies ist deine endgültige Antwort.

Sie können es auch auf andere Weise tun.

Indem Sie zuerst die komplexen Zahlen teilen und dann in trigonometrische Form ändern, ist das viel einfacher.

Zuerst vereinfachen wir die angegebene Anzahl

# (i + 8) / (3i-1) #

# = (8 + i) / (- 1 + 3i) #

Multiplizieren und dividieren Sie durch das Konjugat der im Nenner vorhandenen komplexen Zahl, d.h. # -1-3i #.

# (8 + i) / (- 1 + 3i) = ((8 + i) (- 1-3i)) / ((- 1 + 3i) (- 1-3i)) = (- 8-24i-i -3i ^ 2) / ((- 1) ^ 2- (3i) ^ 2) #

# = (- 8-25i + 3) / (1 - (- 9)) = (- 5-25i) / (1 + 9) = (- 5-25i) / 10 = -5 / 10- (25i) / 10 = -1 / 2- (5i) / 2 #

# (8 + i) / (- 1 + 3i) = - 1 / 2- (5i) / 2 #

Lassen # t # sei die Größe von # (1 / 10- (5i) / 2) # und #Beta# sei sein Winkel.

In der Größenordnung von # (- 1 / 2- (5i) / 2) = Quadrat ((- 1/2) ^ 2 + (- 5/2) ^ 2) = Quadrat (1/4 + 25/4) = Quadrat (26 / 4) = sqrt (13/2) = t #

Winkel von # (- 1 / 2- (5i) / 2) = Tan ^ -1 ((- 5/2) / (- 1/2)) = tan ^ -1 (5) = beta #

#implies (-1 / 2- (5i) / 2) = t (Cosbeta + Isinbeta) #

#implies (-1 / 2- (5i) / 2) = sqrt (13/2) (Cos (tan ^ -1 (5)) + isin (tan ^ -1 (5))) #.