Frage # ba262

Antworten:

Der Beweis ist etwas lang, aber überschaubar. Siehe unten.

Erläuterung:

Wenn Sie versuchen, Trig-Identitäten mit Brüchen nachzuweisen, sollten Sie immer zuerst die Brüche hinzufügen:

# sint / (1-cost) + (1 + cost) / sint = (2 (1 + cost)) / sint #

# -> sint / (1-kosten) sint / sint + (1 + kosten) / sint (1-kosten) / (1-kosten) = (2 (1 + kosten)) / sint #

# -> sin ^ 2t / ((1-kosten) (sint)) + ((1 + kosten) (1-kosten)) / ((1-kosten) (sint)) = (2 (1 + kosten)) / sint #

# -> (sin ^ 2t + (1 + cost) (1-cost)) / ((1-cost) (sint)) = (2 (1 + cost)) / sint #

Der Ausdruck # (1 + Kosten) (1 Kosten) # ist eigentlich ein Unterschied der Quadrate in der Verkleidung:

# (a + b) (a-b) = a ^ 2-b ^ 2 #

Mit # a = 1 # und # b = Kosten #. Es wertet sich aus # (1) ^ 2- (Kosten) ^ 2 = 1-cos ^ 2t #.

Wir können noch weiter gehen # 1-cos ^ 2t #. Erinnern Sie sich an die grundlegende pythagoreische Identität:

# cos ^ 2x + sin ^ 2x = 1 #

Subtrahieren # cos ^ 2x # Von beiden Seiten sehen wir:

# sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x #

Schon seit # x # ist nur eine Platzhaltervariable, wir können das sagen # sin ^ 2t = 1-cos ^ 2t #. deshalb, die # (1 + Kosten) (1 Kosten) # wird # sin ^ 2t #:

# (sin ^ 2t + sin ^ 2t) / ((1-cost) (sint)) = (2 (1 + cost)) / sint #

# -> (2sin ^ 2t) / ((1-cost) (sint)) = (2 (1 + cost)) / sint #

Beachten Sie, dass Sinus abbrechen:

# (2cancel (sin ^ 2t) ^ sint) / ((1-cost) stornieren ((sint))) = (2 (1 + Kosten)) / sint #

# -> (2sint) / (1-cost) = (2 (1 + cost)) / sint #

Wir sind fast fertig. Der letzte Schritt besteht darin, die linke Seite mit dem Konjugat von zu multiplizieren # 1-Kosten # (welches ist # 1 + Kosten #), um den Unterschied der Quadrateigenschaften zu nutzen:

# (2sint) / (1-cost) (1 + cost) / (1 + cost) = (2 (1 + cost)) / sint #

# -> (2sint (1 + Kosten)) / ((1-Kosten) (1 + Kosten)) = (2 (1 + Kosten)) / sint #

Wieder können wir das sehen # (1-Kosten) (1 + Kosten) # ist ein Unterschied der Quadrate mit # a = 1 # und # b = Kosten #. Es wertet sich aus # (1) ^ 2- (Kosten) ^ 2 #, oder # 1-cos ^ 2t #. Das haben wir schon gezeigt # sin ^ 2t = 1-cos ^ 2t #, so wird der Nenner ersetzt:

# (2sint (1 + Kosten)) / (sin ^ 2t) = (2 (1 + Kosten)) / sint #

Sines stornieren:

# (2cancel (sint) (1 + cost)) / (stornieren (sin ^ 2t) ^ sint) = (2 (1 + cost)) / sint #

Und voila, Beweis vollständig:

# (2 (1 + Kosten)) / sint = (2 (1 + Kosten)) / sint #

Antworten:

Lass es mich versuchen

Erläuterung:

# LHS = sint / (1-cost) + (1 + cost) / sint #

Bei der Überprüfung der RHS nehmen wir gemeinsam vor# (1 + Kosten) / sint #

So

# LHS = (1 + Kosten) / sint (sint / (1 + kosten) * sint / (1-kosten) +1) #

# = (1 + Kosten) / sint (sin ^ 2t / (1-cos ^ 2t) +1) #

# = (1 + Kosten) / sint (sin ^ 2t / sin ^ 2t + 1) #

# = (1 + Kosten) / sint (1 + 1) #

# = (2 (1 + Kosten)) / sint = RHS #

Bewiesen