Sei x, y, z drei reelle und verschiedene Zahlen, die die Gleichung 8 (4x ^ 2 + y ^ 2) + 2z ^ 2-4 (4xy + yz + 2xz) = 0 erfüllen. Welche der folgenden Optionen ist dann richtig? ? (a) x / y = 1/2 (b) y / z = 1/4 (c) x / y = 1/3 (d) x, y, z sind in A.P

Antworten:

Antwort ist (a).

Erläuterung:

# 8 (4x ^ 2 + y ^ 2) + 2z ^ 2-4 (4xy + yz + 2xz) = 0 # kann als geschrieben werden

# 32x ^ 2 + 8y ^ 2 + 2z ^ 2-16xy-4yz-8xz = 0 #

oder # 16x ^ 2 + 4y ^ 2 + z ^ 2-8xy-2yz-4xz = 0 #

d.h. # (4x) ^ 2 + (2y) ^ 2 + z ^ 2-4x * 2y-2y * z-4x * z = 0 #

ob # a = 4x #, # b = 2y # und # c = z #das ist dann

# a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2-ab-bc-ca = 0 #

oder # 2a ^ 2 + 2b ^ 2 + 2c ^ 2ab-2bc-2ca = 0 #

oder # (a ^ 2 + b ^ 2-2ab) + (b ^ 2 + c ^ 2-2bc) + (c ^ 2 + a ^ 2-2ac) = 0 #

oder # (a-b) ^ 2 + (b-c) ^ 2 + (c-a) ^ 2 = 0 #

Wenn nun die Summe von drei Feldern ist #0#müssen sie jeweils null sein.

Daher # a-b = 0 #, # b-c = 0 # und # c-a = 0 #

d.h. # a = b = c # und in unserem Fall # 4x = 2y = z = k # sagen

dann # x = k / 4 #, # y = k / 2 # und # z = k #

d.h. # x, y # und # z # sind in G.P, und # x / y = 2/4 = 1/2 #

# y / z = 1/2 # und daher lautet die Antwort (a).

# x, y, z # sind drei reelle und verschiedene Zahlen, die die Gleichung erfüllen

Gegeben

# 8 (4x ^ 2 + y ^ 2) + 2z ^ 2-4 (4xy + yz + 2xz) = 0 #

# => 32x ^ 2 + 8y ^ 2 + 2z ^ 2-16xy-4yz-8xz = 0 #

# => 16x ^ 2 + 4y ^ 2-16xy + 16x ^ 2 + z ^ 2-8xz + 4y ^ 2 + z ^ 2-4yz = 0 #

# => (4x) ^ 2 + (2y) ^ 2-2 * 4x * 2y + (4x) ^ 2 + z ^ 2-2 * 4x * z + (2y) ^ 2 + z ^ 2-2 * 2y * z = 0 #

# => (4x-2y) ^ 2 + (4x-z) ^ 2 + (2y-z) ^ 2 = 0 #

Summe von drei quadratischen reellen Mengen, die Null sind, muss jede von ihnen Null sein.

Daher # 4x-2y = 0-> x / y = 2/4 = 1 / 2zu #Option (a)

# 4x-z = 0 => 4x = z #

und

# 2y-z = 0 => 2y = z #