Verwenden Sie http: //.org/questions/in-1-6-1-6666-repeating-6-isallcalled-repeatend-or-reptend-i-learn-from-https-en-w, wie entwerfen Sie eine Menge rationaler Zahlen {x}, die mit Millionen Ziffern reptend sind?

Antworten:

Siehe unten.

Erläuterung:

Gehen wir noch einen Schritt weiter und entwerfen ein Set, das enthält jeden rationale nummer mit einem repetend mit #10^6# Ziffern

Warnung: Das Folgende ist stark verallgemeinert und enthält einige untypische Konstruktionen. Es kann verwirrend sein, wenn Schüler sich nicht mit dem Bau von Sets auskennen.

Zunächst wollen wir die Menge unserer Längenwiederholungen konstruieren #10^6#. Während wir mit dem Set beginnen können #{1, 2, …, 10^(10^6+1)-1}# das enthält höchstens jede natürliche Zahl #10^6# Ziffern würden wir auf ein Problem stoßen. Einige dieser Wiederholungen können zum Beispiel mit kleineren Strings dargestellt werden # 0.bar (111 … 1) = 0.bar (1) #, oder # 0.bar (121212 … 12) = 0.bar (12) #. Um dies zu vermeiden, definieren wir zunächst einen neuen Begriff.

Betrachten Sie eine ganze Zahl #a in 1, 10 ^ (10 ^ 6 + 1) -1 #. Lassen # a_1a_2 … a_ (10 ^ 6) # sei ein #10^6# stellige Darstellung dieser ganzen Zahl, möglicherweise mit führender Zahl #0#s wenn #ein# hat weniger als #10^6# Ziffern Wir werden anrufen #ein# sinnvoll wenn für jeden richtigen Divisor # m # von #10^6#, #ein# ist nicht von der Form # a_1a_2 … a_ma_1a_2 … a_m "" … "" a_1a_2 … a_m #

Jetzt können wir unsere Wiederholungen machen.

Lassen #A = {a in {1, 2, …, 10 ^ (10 ^ 6 + 1) -1}: a "ist nützlich"} #

Als Nächstes konstruieren wir unseren Satz möglicher, sich nicht wiederholender anfänglicher Dezimalstellen. Bedenken Sie, dass dies auch führen kann #0#s oder ganz bestehen aus #0#s werden wir unsere Zahlen als Tupel des Formulars darstellen # (k, b) #, woher # k # repräsentiert die Länge der Ziffernfolge und # b # wird seinen Wert darstellen, wenn er als ganze Zahl ausgewertet wird. Zum Beispiel die Ziffern #00032# würde mit dem Tupel paaren #(5, 32)#.

Lassen #B = (NNuu {0}) xx (NNuu {0}) #

Zum Schluss fügen wir den ganzzahligen Teil der Mischung hinzu. Beachten Sie, dass wir im Gegensatz zu den Bruchteilen hier das Zeichen berücksichtigen und verwenden werden # ZZ # anstatt # NN #.

Lassen #C = A xx B xx ZZ #. Das ist, # C # ist die Menge von #3#-tupel # (a, (k, b), c) # so dass, #ein# ist eine nützliche ganze Zahl mit höchstens #10^6# Ziffern # (k, b) # repräsentiert a # k #-digit Zeichenfolge aus Ziffern, deren ganzzahliger Wert ist # b #, und # c # ist eine ganze Zahl.

Nun, da wir Sets haben, die alles Mögliche umfassen #a, b, c # Zeichenfolge mit den gewünschten Eigenschaften, werden wir sie unter Verwendung des in der referenzierten Frage erstellten Formulars zusammenstellen.

# S: = {((10 ^ kc + b) (10 ^ (10 ^ 6) -1) + a) / (10 ^ k (10 ^ (10 ^ 6) -1)): (a, (k, b), c) in C} #

Dann #S Teilmenge QQ # ist die Menge von rationalen Zahlen mit #10^6# Ziffer wiederholt sich.

Dank Sente liegt die Theorie in seiner Antwort.

Für eine Teilmenge der Antwort

# {x} = {I + M + (d_ (msd) ddd … dddd_ (lsd)) / (9999 … 9999)} #, #I in N # und M ein richtiger Bruchteil der Form m-Ziffer

ganze Zahl/# 10 ^ m #, #d_ (msd) # ist die höchstwertige Ziffer ungleich Null. lsd

bedeutet die niedrigstwertige Ziffer..

Aufklärung:

Sei I = 2, M =.209 / 1000 =.209 #d_ (lsd) = 7 und d_ (msd) = 3 #. Im-

zwischen ds sind alle 0..

Dann.

#x = 2.209+ (7000 … 0003) / (9999 … 9999) #

# = 2.209 7000 … 0003 7000 … 0003 7000 … 0003 … ad infinitum.

Beachten Sie die Aufteilung durch #10^100001-1=9999…9999#.

Sowohl Zähler als auch Nenner haben die gleiche Anzahl von SD.

Sans msd d, ds könnte jeder sein #in {0 1 2 3 4 5 6 7 8 9} #.