Was sind die lokalen Extrema von f (x) = xlnx-xe ^ x?

Antworten:

Diese Funktion hat keine lokalen Extrema.

Erläuterung:

#f (x) = xlnx-xe ^ x impliziert #

#g (x) entspricht f ^ '(x) = 1 + lnx - (x + 1) e ^ x #

Zum # x # um ein lokales Extremum zu sein, #g (x) # muss Null sein Wir werden nun zeigen, dass dies für keinen echten Wert von geschieht # x #.

Beachten Sie, dass

#g ^ '(x) = 1 / x- (x + 2) e ^ x, qquad g ^ {' '} (x) = -1 / x ^ 2- (x + 3) e ^ x #

Somit #g ^ '(x) # wird verschwinden, wenn

# e ^ x = 1 / (x (x + 2)) #

Dies ist eine transzendentale Gleichung, die numerisch gelöst werden kann. Schon seit #g ^ '(0) = + oo # und #g ^ '(1) = 1-3e <0 #liegt die Wurzel zwischen 0 und 1. Und seitdem #g ^ {''} (0) <0 # für alle positiv # x #Dies ist die einzige Wurzel und entspricht einem Maximum für #g (x) #

Es ist ziemlich einfach, die Gleichung numerisch zu lösen, und das zeigt das #g (x) # hat ein maximal beim # x = 0,3152 # und der maximale Wert ist #g (0,3152) = -1,957 #. Da der Maximalwert von #g (x) # ist negativ, es gibt keinen Wert von # x # bei welchem #g (x) # verschwindet

Es kann aufschlussreich sein, dies grafisch zu betrachten:

Graph {x log (x) -x e ^ x -0,105, 1, -1,175, 0,075}

Wie Sie aus der Grafik oben sehen können, die Funktion #f (x) # hat eigentlich ein Maximum an # x = 0 # - Dies ist jedoch kein lokales Maximum. Die Grafik unten zeigt das #g (x) entspricht f ^ '(x) # nimmt niemals den Wert Null an.

Graph {1 + log (x) - (x + 1) * e ^ x -0,105, 1, -3, 0,075}