Was sind Extrema und Sattelpunkte von f (x, y) = (x + y + 1) ^ 2 / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1)?

Antworten:

Erläuterung:

Wir haben:

# f (x, y) = (x + y + 1) ^ 2 / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) #

Schritt 2 - Identifizieren Sie kritische Punkte

Ein kritischer Punkt tritt bei einer gleichzeitigen Lösung von auf

# f_x = f_y = 0 iff (partielles f) / (partielles x) = (partielles f) / (partielles y) = 0 #

wenn also:

# f_x = {2 (x + y + 1) (y ^ 2-xy-x + 1)} / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) ^ 2 = 0 #

# = = (x + y + 1) (y ^ 2-xy-x + 1) = 0 # ….. EIN

Durch gleichzeitiges Lösen von A und B erhalten wir eine einzige Lösung:

# x = y = 1 #

Wir können daraus schließen, dass es einen kritischen Punkt gibt:

# (1,1) #

Schritt 3 - Klassifizieren Sie die kritischen Punkte

Um die kritischen Punkte zu klassifizieren, führen wir einen Test durch, der dem eines Variablenkalküls ähnlich ist, wobei die zweiten partiellen Ableitungen und die Hessische Matrix verwendet werden.

# Delta = Hf (x, y) = | (f_ (x x) f_ (xy)), (f_ (yx) f_ (yy)) | = | ((partiell ^ 2f) / (partiell x ^ 2), (partiell ^ 2f) / (partielles x partielles y)), ((partiell ^ 2f) / (partielles y partielles x), (partiell ^ 2f) / (teilweise y ^ 2)) | = f_ (x x) f_ (yy) - (f_ (xy)) ^ 2 #

Dann abhängig vom Wert von #Delta#:

# {: (Delta> 0, "Es gibt Maximum, wenn" f_ (xx) <0), (, ") und ein Minimum, wenn" f_ (xx)> 0) ist, (Delta <0, "es gibt einen Sattelpunkt")), (Delta = 0, "Weitere Analyse erforderlich"):} #

Mit benutzerdefinierten Excel-Makros werden die Funktionswerte zusammen mit den partiellen Ableitungswerten wie folgt berechnet: