Was sind die Extrema und Sattelpunkte von f (x, y) = 2x ^ (2) + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2 - y / x?

Antworten:

Diese Funktion hat keine stationären Punkte (sind Sie sicher, dass #f (x, y) = 2x ^ 2 + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2-y / x # wollten Sie studieren ?!).

Erläuterung:

Nach der am weitesten verbreiteten Definition von Sattelpunkte (stationäre Punkte, die keine Extremwerte sind), suchen Sie nach den stationären Punkten der Funktion in ihrem Bereich # D = x ne 0 = RR ^ 2 setminus {(0, y) in RR ^ 2} #.

Wir können jetzt den angegebenen Ausdruck umschreiben # f # auf die folgende Weise: #f (x, y) = 7x ^ 2 + x ^ 2y ^ 2-y / x #

Um sie zu identifizieren, suchen Sie nach den Punkten, die den Gradienten aufheben # f #, das ist der Vektor der partiellen Ableitungen:

#nabla f = ((del f) / (del x), (del f) / (del y)) #

Da es sich bei der Domäne um eine offene Menge handelt, müssen wir nicht nach Extremen suchen, die eventuell an der Grenze liegen, da eine offene Menge keine Grenzpunkte enthält.

Berechnen wir also den Gradienten der Funktion:

#nabla f (x, y) = (14x + 2xy ^ 2 + y / x ^ 2,2x ^ 2y-1 / x) #

Dies ist Null, wenn die folgenden Gleichungen gleichzeitig erfüllt sind:

# 14x + 2xy ^ 2 + y / x ^ 2 = 0 #

# 2x ^ 2y = 1 / x #

Wir können die Sekunde in verwandeln # y = 1 / (2x ^ 3) # und ersetze es in die erste zu bekommen

# 14x + 2x (1 / (2x ^ 3)) ^ 2+ (1 / (2x ^ 3)) / x ^ 2 = 0 #

# 14x + 1 / (2x ^ 5) + 1 / (2x ^ 5) = 0 #

# 14x ^ 6 + 1 = 0 #

Damit kann man nicht zufrieden sein #x in RR #Daher ist der Farbverlauf in der Domäne niemals null. Dies bedeutet, dass die Funktion keine stationären Punkte hat!