Was sind die lokalen Maxima und Minima von f (x) = (x ^ 2) / (x-2) ^ 2?

Antworten:

#f (x) = x ^ 2 / {(x-2) ^ 2 #

Diese Funktion hat eine vertikale Asymptote bei # x = 2 #, Ansätze #1# von oben wie x zu geht # + oo # (horizontale Asymptote) und Ansätze #1# von unten wie x zu geht # -oo #. Alle Derivate sind bei undefiniert # x = 2 # auch. Es gibt ein lokales Minimum an # x = 0 #, # y = 0 # (All diese Mühe für den Ursprung!)

Beachten Sie, dass Sie vielleicht meine Mathematik überprüfen möchten, selbst wenn der Beste von uns das ungerade negative Vorzeichen aufgibt und dies eine lange Frage ist.

Erläuterung:

#f (x) = x ^ 2 / {(x-2) ^ 2 #

Diese Funktion hat eine vertikale Asymptote bei # x = 2 #, weil der Nenner bei Null ist # x = 2 #.

Es nähert sich #1# von oben wie x zu geht # + oo # (horizontale Asymptote) und Ansätze #1# von unten wie x zu geht # -oo #, weil für große Werte # x ^ 2 ~ = (x-2) ^ 2 # mit # x ^ 2> (x-2) ^ 2 # zum #x> 0 # und # x ^ 2 <(x-2) ^ 2 # zum #x <0 #.

Um max / min zu finden, benötigen wir die erste und zweite Ableitung.

# {df (x)} / dx = d / dx (x ^ 2 / {(x-2) ^ 2}) # Verwenden Sie die Quotientenregel!

# {df (x)} / dx = ({(d / dx x ^ 2) (x-2) ^ 2 - x ^ 2 (d / dx (x-2) ^ 2)} / {(x-2)) ^ 4}) #.

Mit der Regel für Kräfte und der Kettenregel erhalten wir:

# {df (x)} / dx = {(2x) (x-2) ^ 2 - x ^ 2 (2 * (x-2) * 1)} / (x-2) ^ 4 #.

Wir haben jetzt ein bisschen geschluckt …

# {df (x)} / dx = {2x (x ^ 2-4x + 4) - x ^ 2 (2x-4)} / (x-2) ^ 4 #

# {df (x)} / dx = {2x ^ 3-8x ^ 2 + 8x - 2x ^ 3 + 4x ^ 2} / (x-2) ^ 4 #

# {df (x)} / dx = {-4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 #

Nun die zweite Ableitung, wie die erste.

# {d ^ 2f (x)} / dx ^ 2 = {d / dx (-4x ^ 2 + 8x) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (d / dx ((x -2) ^ 4))} / (x-2) ^ 8 #

# {d ^ 2f (x)} / dx ^ 2 = {(-8x + 8) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3 * 1) } / (x-2) ^ 8 #

# {d ^ 2f (x)} / dx ^ 2 = {(-8x + 8) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3 * 1) } / (x-2) ^ 8 #

Es ist hässlich, aber wir müssen nur anschließen und feststellen, wo es sich schlecht benimmt.

# {df (x)} / dx = {-4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 # Diese Funktion ist bei nicht definiert # x = 2 #, diese Asymptote, sieht aber überall gut aus.

Wir möchten wissen, wo die max / min sind …

legen wir fest # {df (x)} / dx = 0 #

# {- 4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 = 0 # Dies ist Null, wenn der Zähler Null ist und wenn der Nenner nicht ist.

# -4x ^ 2 + 8x = 0 #

# 4x (-x + 2) = 0 # oder # 4x (2-x) = 0 # Das ist bei null # x = 0 # und # x = 2 #, aber wir können keine max / min haben, wenn die Ableitung / Funktion undefiniert ist, also die einzige Möglichkeit # x = 0 #.

"der zweite Ableitungstest"

Nun schauen wir uns die zweite Ableitung an, hässlich wie sie ist …

# {d ^ 2f (x)} / dx ^ 2 = {(-8x + 8) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3)} / (x-2) ^ 8 #

Wie bei der Funktion und der ersten Ableitung ist dies bei nicht definiert # x = 2 #aber sieht überall gut aus.

Wir stecken # x = 0 # in # {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 #

# {d ^ 2 f (0)} / dx ^ 2 = #

# {(-8*0 + 8)(0-2)^4 - (-4*0^2 + 8*0)(4*0-2)^3}/(0-2)^8 #

#= {(8)(-2)^4}/(2)^8 #, ist null nicht eine so schöne Zahl, um sie anzuschließen?

#=128/256# das alles für #1/2#

#1/2 >0# so # x = 0 # ist ein lokales Minimum.

Um den y-Wert zu finden, müssen wir ihn in die Funktion einstecken.

#f (x) = 0 ^ 2 / {(0-2) ^ 2} = 0 # Der Ursprung!