Wie finden Sie den Scheitelpunkt einer quadratischen Gleichung?

Antworten:

Verwenden Sie die Formel # -b / (2a) # für die x-Koordinate und dann stecken Sie es ein, um das y zu finden.

Erläuterung:

Eine quadratische Gleichung wird als geschrieben # ax ^ 2 + bx + c # in seiner Standardform. Der Scheitelpunkt kann mithilfe der Formel ermittelt werden # -b / (2a) #.

Nehmen wir zum Beispiel an, unser Problem besteht darin, den Scheitelpunkt (x, y) der quadratischen Gleichung herauszufinden # x ^ 2 + 2x-3 #.

1) Beurteilen Sie Ihre a, b und c Werte. In diesem Beispiel ist a = 1, b = 2 und c = -3

2) Fügen Sie Ihre Werte in die Formel ein # -b / (2a) #. Für dieses Beispiel erhalten Sie #-2/(2*1)# was zu -1 vereinfacht werden kann.

3) Sie haben gerade die x-Koordinate Ihres Scheitelpunkts gefunden! Fügen Sie nun -1 für x in die Gleichung ein, um die y-Koordinate herauszufinden.

4) # (- 1) ^ 2 + 2 (-1) -3 = y #.

5) Nach der Vereinfachung der obigen Gleichung erhalten Sie: 1-2-3, was gleich -4 ist.

6) Ihre endgültige Antwort lautet (-1, -4)!

Hoffe das hat geholfen.

Antworten:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 # hat einen Scheitelpunkt an # (- (b) / (2a), - (b ^ 2 - 4ac) / (4a)) #

Erläuterung:

Betrachten Sie einen allgemeinen quadratischen Ausdruck:

# f (x) = ax ^ 2 + bx + c = 0 #

und die zugehörige Gleichung #f (x) = 0 #:

# => ax ^ 2 + bx + c = 0 #

Mit Wurzeln #Alpha# und #Beta#.

Wir wissen (durch Symmetrie - zum Beweis siehe unten), dass der Scheitelpunkt (entweder Maximum oder Minimum) der Mittelpunkt der beiden Wurzeln ist, der # x #-Koordinate des Scheitelpunkts ist:

# x_1 = (alpha + beta) / 2 #

Erinnern Sie sich jedoch an die gut untersuchten Eigenschaften:

# {: ("Summe der Wurzeln", = Alpha + Beta, = -b / a), ("Produkt der Wurzeln", = Alpha Beta, = c / a):} #

Somit:

# x_1 = - (b) / (2a) #

Geben uns:

# f (x_1) = a (- (b) / (2a)) ^ 2 + b (- (b) / (2a)) + c #

# = (b ^ 2) / (4a) - b ^ 2 / (2a) + c #

# = (4ac - b ^ 2) / (4a) #

# = - (b ^ 2 - 4ac) / (4a) #

Somit:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 # hat einen Scheitelpunkt an # (- (b) / (2a), - (b ^ 2 - 4ac) / (4a)) #

Mittelwertnachweis:

Wenn wir haben

# f (x) = ax ^ 2 + bx + c = 0 #

Dann differenzieren wir # x #:

# f '(x) = 2ax + b #

An einem kritischen Punkt, die erste Ableitung, #f '(x) # verschwindet, was erfordert:

# f '(x) = 0 #

#:. 2ax + b = 0 #

#:. x = -b / (2a) # QED