Betrachten Sie die quadratische Gleichung # x ^ 2 + 4x + 4 = 0 #, das auf der linken Seite auch ein perfektes quadratisches Trinom ist. Factoring zu lösen:
# => (x + 2) (x + 2) = 0 #
# => x = -2 und -2 #
Zwei identische Lösungen! Es sei daran erinnert, dass die Lösungen einer quadratischen Gleichung die x-Abschnitte der entsprechenden quadratischen Funktion sind.
Also die Lösungen für die Gleichung # x ^ 2 + 5x + 6 = 0 #werden zum Beispiel die x-Abschnitte in der Grafik von sein #y = x ^ 2 + 5x + 6 #.
Ebenso die Lösungen zur Gleichung # x ^ 2 + 4x + 4 = 0 # werden die x-Abschnitte auf der Grafik von sein #y = x ^ 2 + 4x + 4 #.
Da gibt es eigentlich nur eine Lösung dazu # x ^ 2 + 4x + 4 = 0 #, der Scheitelpunkt der Funktion #y = x ^ 2 + 4x + 4 # liegt auf der x-Achse.
Denken Sie jetzt an die Unterscheidung einer quadratischen Gleichung. Wenn Sie noch keine Erfahrung damit gemacht haben, ärgern Sie sich nicht.
Wir benutzen den Diskriminanten, # b ^ 2 - 4ac #Um zu überprüfen, wie viele Lösungen und wie der Lösungstyp eine quadratische Gleichung des Formulars enthält # ax ^ 2 + bx + c = 0 # kann haben, ohne die Gleichung zu lösen.
Wenn der Diskriminant kleiner ist als #0#wird die Gleichung haben keine Lösung. Wenn der Diskriminant genau Null ist, wird die Gleichung genau haben eine Lösung. Wenn der Diskriminant eine Zahl größer als Null ist, wird es genau so sein zwei lösungen. Wenn die fragliche Zahl, die Sie als Ergebnis erhalten, im letzteren Fall ein perfektes Quadrat ist, hat die Gleichung zwei rationale Lösungen. Wenn nicht, hat es zwei irrationale Lösungen.
Ich habe bereits gezeigt, dass Sie, wenn Sie ein perfektes quadratisches Trinom haben, zwei identische Lösungen haben, was einer Lösung entspricht. Daher können wir den Diskriminanten auf setzen #0# und lösen für # c #.
Woher #a = 1, b = 14 und c =? #:
# b ^ 2 - 4ac = 0 #
# 14 ^ 2 - 4 xx 1 xx c = 0 #
# 196 - 4c = 0 #
# 4c = 196 #
#c = 49 #
Also das perfekte quadratische Trinom mit #a = 1 und b = 14 # ist # x ^ 2 + 14x + 49 #. Wir können dies durch Factoring überprüfen.
# x ^ 2 + 14x + 49 = (x + 7) (x + 7) = (x + 7) ^ 2 #
Übungsübungen:
- Bestimmen Sie mit Hilfe des Diskriminanten die Werte von #a, b oder c # das macht die Trinomien perfekte Quadrate.
ein) # ax ^ 2 - 12x + 4 #
b) # 25x ^ 2 + bx + 64 #
c) # 49x ^ 2 + 14x + c #
Hoffentlich hilft das und viel Glück!
