Antworten:
Center: #(2,-1)#
Vertices: # (2, 1/2) und (2, -5 / 2) #
Co-Vertices: # (1, -1) und (3, -1) #
Foci: # (2, (-2 + sqrt (5)) / 2) und (2, (- 2 sqrt (5)) / 2) #
Exzentrizität: #sqrt (5) / 3 #
Erläuterung:
Die Technik, die wir verwenden wollen, heißt das Quadrat ausfüllen. Wir werden es auf die verwenden # x # Begriffe zuerst und dann die # y #.
Neu anordnen
# 9x ^ 2 + 4y ^ 2 - 36x + 8y = -31 #
Fokussierung auf # x #durchschneiden durch die # x ^ 2 # Koeffizienten und addieren Sie das Quadrat der Hälfte des Koeffizienten # x ^ 1 # Begriff für beide Seiten:
# x ^ 2 + 4 / 9y ^ 2 - 4x + 8 / 9y + (- 2) ^ 2 = -31/9 + (-2) ^ 2 #
# (x-2) ^ 2 + 4 / 9y ^ 2 + 8 / 9y = 5/9 #
Durch durch teilen # y ^ 2 # Koeffizient und Quadrat der Hälfte des Koeffizienten addieren # y ^ 1 # Begriff für beide Seiten:
# 9/4 (x-2) ^ 2 + y ^ 2 + 2y + (1) ^ 2 = 5/4 + (1) ^ 2 #
# 9/4 (x-2) ^ 2 + (y + 1) ^ 2 = 9/4 #
Teilen durch #9/4# vereinfachen:
# (x-2) ^ 2 + 4/9 (y + 1) ^ 2 = 1 #
# (x-2) ^ 2/1 + ((y + 1) ^ 2) / (9/4) = 1 #
Allgemeine Gleichung ist
# (x-a) ^ 2 / h ^ 2 + (y-b) ^ 2 / k ^ 2 = 1 #
woher # (a, b) # ist das Zentrum und #h, k # sind die semi-minor / major-Achse.
Ablesen des Zentrums gibt #(2, -1)#.
In diesem Fall ist die # y # Richtung hat einen größeren Wert als die # x #, so wird die Ellipse im gedehnt # y # Richtung. # k ^ 2> h ^ 2 #
Die Scheitelpunkte werden durch Verschieben der Hauptachse von der Mitte aus erhalten. Ie # + - sqrt (k) # zur y-Koordinate des Zentrums hinzugefügt.
Das gibt # (2, 1/2) und (2, -5/2) #.
Die Co-Scheitelpunkte liegen auf der Nebenachse. Wir fügen hinzu # + - sqrt (h) # um die x-Koordinate des Zentrums zu finden.
# (1, -1) und (3, -1) #
Um nun die Brennpunkte zu finden:
# c ^ 2 = k ^ 2 - h ^ 2 #
# c ^ 2 = 9/4 - 1 #
# c ^ 2 = 5/4 impliziert c = + -sqrt (5) / 2 #
Die Brennpunkte werden entlang der Linie liegen #x = 2 # beim # + - sqrt (5) / 2 # von #y = -1 #.
#deshalb# Brennpunkte bei # (2, (-2 + sqrt (5)) / 2) und (2, (- 2 sqrt (5)) / 2) #
Schließlich wird die Exzentrizität mit Hilfe von gefunden
# e = sqrt (1-h ^ 2 / k ^ 2) #
# e = sqrt (1-1 / (9/4)) = sqrt (1-4 / 9) = sqrt (5) / 3 #
