Wie groß sind die Abmessungen eines Kästchens, die die minimale Materialmenge verwenden, wenn das Unternehmen ein geschlossenes Kästchen benötigt, in dem der Boden die Form eines Rechtecks hat, wobei die Länge doppelt so lang ist, wie die Breite und das Kästchen passen muss 9000 Kubikzoll Material?

Beginnen wir mit einigen Definitionen.

Wenn wir anrufen # h # die Höhe des Kastens und # x # die kleineren Seiten (also die größeren Seiten sind # 2x #, Wir können das sagen Volumen

# V = 2x * x * h = 2x ^ 2 * h = 9000 # aus denen wir extrahieren # h #

# h = 9000 / (2x ^ 2) = 4500 / x ^ 2 #

Nun zum Oberflächen (= Material)

Oben unten: # 2x * x # mal #2-># Fläche =# 4x ^ 2 #

Kurze seiten: # x * h # mal #2-># Fläche =# 2xh #

Lange seiten: # 2x * h # mal #2-># Fläche =# 4xh #

Gesamtfläche:

# A = 4x ^ 2 + 6xh #

Ersetzen für # h #

# A = 4x ^ 2 + 6x * 4500 / x ^ 2 = 4x ^ 2 + 27000 / x = 4x ^ 2 + 27000x ^ -1 #

Um das Minimum zu finden, differenzieren und setzen wir #EIN'# zu #0#

# A '= 8x-27000x ^ -2 = 8x-27000 / x ^ 2 = 0 #

Was dazu führt # 8x ^ 3 = 27000 -> x ^ 3 = 3375 -> x = 15 #

Antworten:

Kurze Seite ist #15# Zoll

Lange Seite ist #2*15=30# Zoll

Höhe ist #4500/15^2=20# Zoll

Überprüfe deine Antwort! #15*30*20=9000#