Wie lauten die Asymptoten und Löcher, falls vorhanden, von f (x) = ((x-3) (x + 2) * x) / ((x ^ 2-x) (x ^ 3-) 3x ^ 2)?

Antworten:

# x = 0 # ist eine Asymptote.

# x = 1 # ist eine Asymptote.

#(3, 5/18)# ist ein Loch.

Erläuterung:

Lassen Sie uns zunächst unseren Bruch vereinfachen, ohne irgendetwas auslöschen zu müssen (da wir Limits einnehmen und Dinge auslöschen, die sich möglicherweise damit vermischen).

#f (x) = ((x-3) (x + 2) (x)) / ((x ^ 2-x) (x ^ 3-3x ^ 2)) #

#f (x) = ((x-3) (x + 2) (x)) / ((x) (x-1) (x ^ 2) (x-3)) #

#f (x) = (x (x-3) (x + 2)) / (x ^ 3 (x-1) (x-3) #

Nun: Löcher und Asymptoten sind Werte, die eine Funktion undefiniert machen. Da wir eine rationale Funktion haben, ist sie genau dann undefiniert, wenn der Nenner gleich 0 ist. Wir müssen daher nur die Werte von überprüfen # x # die den Nenner machen #0#, welche sind:

# x = 0 #

# x = 1 #

# x = 3 #

Um herauszufinden, ob es sich um Asymptoten oder Löcher handelt, nehmen wir die Grenze von #f (x) # wie # x # nähert sich jeder dieser Zahlen.

#lim_ (x -> 0) (x (x-3) (x + 2)) / (x ^ 3 (x-1) (x-3)) = lim_ (x -> 0) ((x-3.)) (x + 2)) / (x ^ 2 (x-1) (x-3)) #

# = (-3 * 2) / (0 * (- 1) * (- 3)) = + -oo #

So # x = 0 # ist eine Asymptote.

#lim_ (x -> 1) (x (x-3) (x + 2)) / (x ^ 3 (x-1) (x-3)) = (1 * (- 2) * 3) / (1 * 0 * (- 2)) = + -oo #

So # x = 1 # ist eine Asymptote.

#lim_ (x -> 3) (x (x-3) (x + 2)) / (x ^ 3 (x-1) (x-3)) = lim_ (x -> 3) ((x + 2))) / (x ^ 2 (x-1)) #

#= 5/(9*2) = 5/18#

So #(3, 5/18)# ist ein Loch in #f (x) #.

Endgültige Antwort