Antworten:
Der Scheitelpunkt von # y # ist der Punkt #(-1.25, 26.875)#
Erläuterung:
Für eine Parabel in Standardform: # y = ax ^ 2 + bx + c #
Der Scheitelpunkt ist der Punkt, an dem #x = (- b) / (2a) #
Anmerkung: Dieser Punkt wird maximal oder minimal sein # y # je nach Vorzeichen von #ein#
In unserem Beispiel: # y = 2x ^ 2 + 5x + 30 -> a = 2, b = 5, c = 30 #
#:. x_ "vertex" = (-5) / (2xx2) #
#= -5/4 = -1.25#
Ersetzen für # x # im # y #
#y_ "vertex" = 2xx (-5/4) ^ 2 + 5xx (-5/4) + 30 #
# = 2xx25 / 16 - 25/4 + 30 #
#= 50/16 -100/16+30 = -50/16+30#
#=26.875#
Der Scheitelpunkt von # y # ist der Punkt #(-1.25, 26.875)#
Wir können diesen Punkt als Minimum von sehen # y # in der Grafik unten.
Graph {2x ^ 2 + 5x + 30 -43.26, 73.74, -9.2, 49.34}
Um den Scheitelpunkt zu finden, ist es am einfachsten (neben der grafischen Darstellung des Problems), die Gleichung in umzuwandeln Scheitelpunktform. Um dies zu tun, sollten wir "das Quadrat vollenden"
# y = 2x ^ 2 + 5x + 30 #
Der führende Koeffizient muss sein #1#, so überlegen Sie sich die #2#
# y = 2 (x ^ 2 + 5 / 2x + 6) #
Wir müssen einen Wert finden, der sich ändert # x ^ 2 + 5 / 2x + 6 # in ein perfektes Quadrat.
Um das zu tun, müssen wir mittelfristig #5/2#und teilen Sie es durch #2#. Das gibt uns #5/4#.
Unser nächster Schritt ist das Ergebnis zu quadrieren: #(5/4)^2#, oder #25/16#
#- - - - - - - - - - - - - - #
Jetzt haben wir unseren fehlenden Wert: # x ^ 2 + 5 / 2x + 6 + 25/16 # WARTEN Wir können einem Problem nicht einfach etwas hinzufügen! Wenn wir jedoch etwas hinzufügen und sofort subtrahieren, haben wir die Gleichung technisch nicht geändert, da sie auf null abgezogen werden
Unser Problem ist also wirklich # x ^ 2 + 5 / 2x + 6 + 25/16 -25 / 16 #
Lassen Sie uns das neu schreiben: # x ^ 2 + 5 / 2x + 25/16 + 6-25 / 16 #
# x ^ 2 + 5 / 2x + 25/16 # ist ein perfekter Platz. Schreiben wir es in dieser Form neu: # (x + 5/4) ^ 2 #
Schauen wir uns noch einmal unsere Gleichung an: # (x + 5/4) ^ 2 + 6-25 / 16 #
Lassen Sie uns ähnliche Begriffe kombinieren: # (x + 5/4) ^ 2 + 71/16 #
Jetzt haben wir die Gleichung in Form eines Scheitelpunkts, und wir können den Scheitelpunkt sehr leicht von hier aus finden
# (x + Farbe (rot) (5/4)) ^ 2 + Farbe (gelb) (71/16) #
# (- Farbe (rot) (x), Farbe (gelb) (y)) #
# (- Farbe (rot) (5/4), Farbe (gelb) (71/16)) #
Das ist der Scheitelpunkt.
Um unsere Arbeit zu überprüfen, lassen Sie uns unsere Gleichung grafisch darstellen und den Scheitelpunkt sehen
Graph {y = 2x ^ 2 + 5x + 30}
Wir hatten recht #-1.25# und #4.4375# sind äquivalent zu #-25/16# und #71/16#
