Was sind die lokalen Extrema von f (x) = x / ((x-2) (x-4) ^ 3)?

Antworten:

# x_1 = 2.430500874043 # und # y_1 = -1.4602879768904 # Maximaler Punkt

# x_2 = -1.0971675407097 # und # y_2 = -0.002674986072485 # Mindestpunkt

Erläuterung:

Bestimmen Sie die Ableitung von #f (x) #

#f '(x) #

# = ((x-2) (x-4) ^ 3 * 1-x (x-2) * 3 (x-4) ^ 2 + (x-4) ^ 3 * 1) / (x -2) (x-4) ^ 3 ^ 2 #

Nehmen Sie den Zähler und dann gleich Null

# ((x-2) (x-4) ^ 3 * 1-x (x-2) * 3 (x-4) ^ 2 + (x-4) ^ 3 * 1) = 0 #

vereinfachen

# (x-2) (x-4) ^ 3-3x (x-2) (x-4) ^ 2-x (x-4) ^ 3 = 0 #

Faktorisierung des gemeinsamen Begriffs

# (x-4) ^ 2 * (x-2) (x-4) -3x (x-2) -x (x-4) = 0 #

# (x-4) ^ 2 * (x ^ 2-6x + 8-3x ^ 2 + 6x-x ^ 2 + 4x) = 0 #

# (x-4) ^ 2 (-3x ^ 2 + 4x + 8) = 0 #

Die Werte von x sind:

# x = 4 # eine Asymptote

# x_1 = (4 + sqrt (112)) / 6 = 2.430500874043 #

Benutzen # x_1 # erhalten # y_1 = -1.4602879768904 # Maximal

# x_2 = (4-sqrt (112)) / 6 = -1.0971675407097 #

Benutzen # x_2 # erhalten # y_2 = -0.002674986072485 ## Minimum