Was sind die lokalen Extrema von f (x) = xe ^ (x ^ 3-7x)?

Antworten:

#(0.14414, 0.05271)# ist ein lokales Maximum

#(1.45035, 0.00119)# und #(-1.59449, -1947.21451)# sind die lokalen Minimums.

Erläuterung:

#f (x) = y = xe ^ (x ^ 3-7x) #

# dy / dx = x (3x ^ 2-7) e ^ (x ^ 3-7x) + e ^ (x ^ 3-7x) = e ^ (x ^ 3-7x) (3x ^ 3-7x + 1)) = 0 #

# e ^ (x ^ 3-7x) = 0,:. 1 / e ^ (7x-x ^ 3) = 0,:. e ^ (7x-x ^ 3) = - oo,:. x = oo #

Dies gilt nicht als lokales Extremum.

# 3x ^ 3-7x + 1 = 0 #

Um nach den Wurzeln dieser kubischen Funktion zu suchen, verwenden wir die Newton-Raphson-Methode:

#x_ (n + 1) = x_n-f (x_x) / (f '(x_n)) #

Dies ist ein iterativer Prozess, der uns näher an die Wurzel der Funktion bringt. Ich schließe den langwierigen Prozess hier nicht ein, aber nachdem wir an der ersten Wurzel angekommen sind, können wir eine lange Division durchführen und das verbleibende Quadrat einfach für die anderen zwei Wurzeln lösen.

Wir werden folgende Wurzeln bekommen:

# x = 0,14414, 1,45035 und -1,59449 #

Wir führen nun einen ersten Ableitungstest durch und versuchen Werte links und rechts von jeder Wurzel, um zu sehen, wo die Ableitung positiv oder negativ ist.

Dies sagt uns, welcher Punkt ein Maximum und welcher ein Minimum ist.

Das Ergebnis wird wie folgt aussehen:

#(0.14414, 0.05271)# ist ein lokales Maximum

#(1.45035, 0.00119)# und #(-1.59449, -1947.21451)# sind die lokalen Minimums.

In der folgenden Grafik sehen Sie eines der Minimums:

Die folgende Ansicht zeigt das Maximum und das andere Minimum: