Wie findet man eine quadratische Funktion f (x) = ax² + bx + c bei minimalem Wert -4, wenn x = 3; eine null ist 6?

Antworten:

#f (x) = 4 / 9x ^ 2 - 8 / 3x #

Erläuterung:

Quadratische Funktionen sind symmetrisch zu ihrer Scheitellinie, dh bei x = 3 bedeutet dies, dass der andere Nullpunkt bei x = 0 liegt.

Wir wissen, dass der Scheitelpunkt bei x = 3 auftritt, so dass die erste Ableitung der bei x = 3 bewerteten Funktion Null ist.

#f '(x) = 2ax + b #

#f '(3) = 6a + b = 0 #

Wir kennen auch den Wert der Funktion selbst bei x = 3, #f (3) = 9a + 3b + c = -4 #

Wir haben zwei Gleichungen, aber drei Unbekannte, also brauchen wir eine andere Gleichung. Schau dir die bekannte Null an:

#f (6) = 0 = 36a + 6b + c #

Wir haben jetzt ein Gleichungssystem:

# ((6, 1, 0), (9,3,1), (36,6,1)) ((a), (b), (c)) = ((0), (- 4), (0)) #

Um die Lösungen abzulesen, möchten wir unsere Koeffizientenmatrix mithilfe von elementaren Zeilenoperationen auf eine reduzierte Echelonform reduzieren.

Erste Reihe mit multiplizieren #1/6#

#((1, 1/6, 0),(9,3,1),(36,6,1))#

Hinzufügen #-9# mal die erste Reihe zur zweiten Reihe:

#((1, 1/6, 0),(0,3/2,1),(36,6,1))#

Hinzufügen #-36# mal die erste Reihe zur dritten:

#((1, 1/6, 0),(0,3/2,1),(0,0,1))#

Zweite Reihe mit multiplizieren #2/3#

#((1, 1/6, 0),(0,1,2/3),(0,0,1))#

Hinzufügen #-2/3# mal die dritte Reihe zur zweiten Reihe:

#((1, 1/6, 0),(0,1,0),(0,0,1))#

Hinzufügen #-1/6# mal der zweite zum ersten

#((1, 0, 0),(0,1,0),(0,0,1))#

Wenn Sie diese Reihe von Operationen mit dem Lösungsvektor durchführen, erhalten Sie Folgendes:

#((4/9),(-8/3),(0))#

Lesen Sie also die Lösungen ab, die wir haben # a = 4/9 und b = -8 / 3 #

#f (x) = 4 / 9x ^ 2 - 8 / 3x #

Graph {4/9 x ^ 2 - 8/3 x -7,205, 12,795, -5,2, 4,8}