Wie finden Sie eine lineare Näherung an Wurzel (4) (84)?

Antworten:

#wurzel (4) (84) ~~ 3.03 #

Erläuterung:

Beachten Sie, dass #3^4 = 81#, das ist nah an #84#.

So #wurzel (4) (84) # ist etwas größer als #3#.

Um eine bessere Näherung zu erhalten, können wir eine lineare Näherung verwenden, auch als Newton-Methode.

Definieren:

#f (x) = x ^ 4-84 #

Dann:

#f '(x) = 4x ^ 3 #

und eine ungefähre Null gegeben # x = a # von #f (x) #ist eine bessere Annäherung:

#a - (f (a)) / (f '(a)) #

In unserem Fall also setzen # a = 3 #ist eine bessere Annäherung:

# 3- (f (3)) / (f '(3)) = 3- (3 ^ 4-84) / (4 (3) ^ 3) = 3- (81-84) / (4 * 27) = 3 + 1/36 = 109/36 = 3,02bar (7) #

Das ist fast genau zu #4# signifikante Zahlen, aber lassen Sie uns die Annäherung als zitieren #3.03#

Antworten:

#wurzel (4) (84) ~~ 3.02778 #

Erläuterung:

Beachten Sie, dass die lineare Näherung in der Nähe eines Punktes liegt #ein# kann gegeben werden durch:

#f (x) ~~ f (a) + f '(a) (x-a) #

Wenn gegeben: #f (x) = Wurzel (4) (x) #

dann eine passende Wahl für #ein# wäre # a = 81 # weil wir wissen #wurzel (4) 81 = 3 # genau und es ist nah an #84#.

So:

#f (a) = f (81) = Wurzel (4) (81) = 3 #

Ebenfalls;

#f (x) = x ^ (1/4) # so #f '(x) = 1 / 4x ^ (- 3/4) = 1 / (4 Wurzel (4) (x) ^ 3) #

#f '(81) = 1 / (4 Wurzel (4) (81) ^ 3) = 1 / (4 * 3 ^ 3) = 1/108 #

Daher können wir uns annähern #81#):

#f (x) ~~ f (a) + f '(a) (x-a) #

#implies Wurzel (4) (x) ~~ 3 + 1 / (108) (x-81) #

So:

#wurzel (4) (84) = 3 + 1/108 (84-81) #

#3+1/108*3=324/3+3/108=327/108~~3.02778#

Der genauere Wert ist #3.02740#

also ist die lineare Annäherung ziemlich nahe.

Antworten:

#wurzel 4 (84) ~~ 3.02bar7 #

Erläuterung:

Wir können sagen, dass wir eine Funktion haben #f (x) = Wurzel (4) (x) #

und # root (4) (84) = f (84) #

Nun lasst uns die Ableitung unserer Funktion finden.

Wir verwenden die Machtregel, die besagt, dass #f (x) = x ^ n #, dann #f '(x) = nx ^ (n-1) # woher # n # ist eine Konstante.

#f (x) = x ^ (1/4) #

=>#f '(x) = 1/4 * x ^ (1 / 4-1) #

=>#f '(x) = (x ^ (- 3/4)) / 4 #

=>#f '(x) = 1 / x ^ (3/4) * 1/4 #

=>#f '(x) = 1 / (4x ^ (3/4)) #

Nun näherungsweise # Wurzel (4) (84) #versuchen wir, die perfekte vierte Potenz zu finden, die am nächsten an 84 liegt

Mal schauen…

#1#

#16#

#81#

#256#

Wir sehen das #81# ist unser engster.

Wir finden jetzt die Tangente unserer Funktion, wenn # x = 81 #

=>#f '(81) = 1 / (4 * 81 ^ (3/4)) #

=>#f '(81) = 1 / (4 * 81 ^ (2/4) * 81 ^ (1/4)) #

=>#f '(81) = 1 / (4 * 9 * 3) #

=>#f '(81) = 1/108 #

Das ist die Piste, nach der wir suchen.

Versuchen wir, die Gleichung der Tangente in das Formular zu schreiben # y = mx + b #

Nun, was ist das? # y # gleich wann # x = 81 #?

Mal schauen…

#f (81) = Wurzel (4) (81) #

=>#f (81) = 3 #

Deshalb haben wir jetzt:

# 3 = m81 + b # Wir wissen, dass die Steigung # m #ist #1/108#

=># 3 = 1/108 * 81 + b # Wir können jetzt lösen für # b #.

=># 3 = 81/108 + b #

=># 3 = 3/4 + b #

=># 2 1/4 = b #

Daher lautet die Gleichung der Tangente # y = 1 / 108x + 2 1/4 #

Wir verwenden jetzt 84 anstelle von # x #.

=># y = 1/108 * 84 + 2 1/4 #

=># y = 1/9 * 7 + 2 1/4 #

=># y = 7/9 + 9/4 #

=># y = 28/36 + 81/36 #

=># y = 109/36 #

=># y = 3.02bar7 #

Deshalb, #wurzel 4 (84) ~~ 3.02bar7 #