Angenommen, ich habe keine Formel für g (x), aber ich weiß, dass g (1) = 3 und g '(x) = sqrt (x ^ 2 + 15) für alle x ist. Wie verwende ich eine lineare Näherung, um g (0,9) und g (1,1) zu schätzen?

Halten Sie ein wenig mit, aber es handelt sich dabei um die Steigungs-Intercept-Gleichung einer Linie, die auf der 1. Ableitung basiert … Und ich möchte Sie auf den Weg nach führen tun die Antwort, nicht nur geben Sie die Antwort …

Okay, bevor ich zur Antwort komme, lass ich dich in die (etwas) humorvolle Diskussion meines Bürokollegen ein und ich hatte gerade …

Ich: "Okay, waitasec … Sie kennen g (x) nicht, aber Sie wissen, dass die Ableitung für alle gilt (x) … Warum möchten Sie eine lineare Interpretation basierend auf der Ableitung machen? Nehmen Sie einfach an das Integral der Ableitung, und Sie haben die ursprüngliche Formel … Richtig?"

OM: "Warten Sie was?" er liest die obige Frage "Holy Moly, ich habe das seit Jahren nicht mehr gemacht!"

Dies führte zu einer Diskussion zwischen uns darüber, wie man dies integriert, aber was der Professor wirklich (wahrscheinlich) will, ist nicht die umgekehrte Operation (was in manchen Fällen auch der Fall sein kann) Ja wirklich HARD), aber zu verstehen Was Die 1. Ableitung ist eigentlich.

Also haben wir uns den Kopf gekratzt und durch unsere kollektiven, altersverwöhnten Erinnerungen nachgedacht. Schließlich haben wir uns darauf geeinigt, dass die 2. Ableitung die lokalen Maxima / Minima ist und die 1. Ableitung (die, die Sie interessiert) die ist Steigung der Kurve an dem gegebenen Punkt.

Nun, was hat das mit dem Würmerpreis in Mexiko zu tun? Wenn wir davon ausgehen, dass die Steigung für alle "nahen" Punkte relativ konstant bleibt (um dies zu wissen, müssen Sie die Kurve betrachten und ein gutes Urteilsvermögen verwenden, das auf dem, was Sie über Dinge wissen, aber da dies Ihre Profis sind will, das bekommt er!), dann können wir eine lineare Interpolation durchführen - genau das, wonach Sie gefragt haben!

Also gut - das Fleisch der Antwort:

Die Steigung (m) der Funktion bei unserem bekannten Wert ist:

m =#sqrt (x ^ 2 + 15) #

Daher ist die Steigung an unserem bekannten Punkt (x = 1):

m =#sqrt (1 ^ 2 + 15) #

m =#sqrt (1 + 15) #

m =#sqrt (16) #

m = 4

Denken Sie daran, dass die Formel für eine Linie (für die lineare Interpolation erforderlich) ist:

# y = mx + b #

Dies bedeutet, dass wir für Punkte, die unserem bekannten Wert nahekommen, die Werte auf einer Linie mit der Steigung m und dem y-Achsenabschnitt b approximieren können. oder:

#g (x) = mx + b #

#g (x) = 4x + b #

Also, was ist dann? # b #?

Wir lösen dies mit unserem bekannten Wert:

#g (1) = 3 #

# 4 (1) + b = 3 #

# 4 + b = 3 #

# b = -1 #

Nun kennen wir die Formel für die Linie, die unsere Kurve an dem bekannten Punkt approximiert:

g (x#~=#1) = 4x-1

Nein, wir fügen unsere Näherungspunkte ein, um den ungefähren Wert zu erhalten, oder:

#g (0,9) ~ = 4 (0,9) -1 #

#g (0,9) ~ = 3,6-1 #

#g (0,9) ~ = 2,6 #

und

#g (1.1) ~ = 4 (1.1) -1 #

#g (1.1) ~ = 4.4-1 #

#g (1.1) ~ = 3,4 #

Einfach richtig?