Sei f eine stetige Funktion: a) Finde f (4), falls _0 ^ (x ^ 2) f (t) dt = x sin πx für alle x ist. b) Finden Sie f (4), wenn _0 ^ f (x) t ^ 2 dt = x sin πx für alle x?

Sei f eine stetige Funktion: a) Finde f (4), falls _0 ^ (x ^ 2) f (t) dt = x sin πx für alle x ist. b) Finden Sie f (4), wenn _0 ^ f (x) t ^ 2 dt = x sin πx für alle x?
Anonim

Antworten:

ein) #f (4) = pi / 2 #; b) #f (4) = 0 #

Erläuterung:

ein) Beide Seiten unterscheiden.

Durch den zweiten Fundamentalsatz der Kalküls auf der linken Seite und der Produkt- und Kettenregeln auf der rechten Seite sehen wir, dass die Differenzierung Folgendes ergibt:

#f (x ^ 2) * 2x = sin (pix) + pixcos (pix) #

Vermieten # x = 2 # zeigt, dass

#f (4) * 4 = sin (2pi) + 2picos (2pi) #

#f (4) * 4 = 0 + 2pi * 1 #

#f (4) = pi / 2 #

b) Integrieren Sie den inneren Begriff.

# int_0 ^ f (x) t ^ 2dt = xsin (pix) #

# t ^ 3/3 _0 ^ f (x) = xsin (pix) #

Bewerten.

# (f (x)) ^ 3 / 3-0 ^ 3/3 = xsin (pix) #

# (f (x)) ^ 3/3 = xsin (pix) #

# (f (x)) ^ 3 = 3xsin (pix) #

Lassen # x = 4 #.

# (f (4)) ^ 3 = 3 (4) sin (4pi) #

# (f (4)) ^ 3 = 12 * 0 #

#f (4) = 0 #