Warum ist die Funktion nicht differenzierbar?

Antworten:

#EIN)# Die Ableitung existiert nicht

#B) # Ja

#C) # Nein

Erläuterung:

Frage A

Sie können dies auf verschiedene Arten sehen. Entweder können wir die Funktion unterscheiden, um zu finden:

#f '(x) = 6/5 (x-2) ^ (- 3/5) = 6 / (5 (x-2) ^ (3/5)) #

was ist undefiniert bei # x = 2 #.

Oder wir können das Limit betrachten:

#lim_ (h -> 0) (f (2 + h) - f (2)) / h = lim_ (h -> 0) (3 (2 + h-2) ^ (2/5) -3 (2) -2) ^ (3/5)) / h = #

# = lim_ (h-> 0) 0 / h #

Dieses Limit existiert nicht, was bedeutet, dass die Ableitung an diesem Punkt nicht existiert.

Frage B

Ja, der Mittelwertsatz gilt. Die Differenzierbarkeitsbedingung im Mittelwertsatz erfordert nur, dass die Funktion im offenen Intervall differenzierbar ist # (a, b) # (IE nicht #ein# und # b # selbst), so über das Intervall #2,5#Der Satz gilt, weil die Funktion im offenen Intervall differenzierbar ist #(2,5)#.

Wir können auch sehen, dass es tatsächlich einen Punkt mit der durchschnittlichen Steigung in diesem Intervall gibt:

Frage C

Wie bereits erwähnt, erfordert der Mittelwertsatz, dass die Funktion im offenen Intervall vollständig differenzierbar ist #(1,4)#, und wir haben zuvor erwähnt, dass die Funktion bei nicht differenzierbar ist # x = 2 #, was in diesem Intervall liegt. Dies bedeutet, dass die Funktion im Intervall nicht unterscheidbar ist, und daher gilt der Mittelwertsatz nicht.

Wir können auch sehen, dass es keinen Punkt in dem Intervall gibt, an dem die durchschnittliche Steigung dieser Funktion aufgrund der "scharfen Biegung" in der Kurve enthalten ist.