Was ist die Standardform der Gleichung eines Kreises, der durch (0, -14), (-12, -14) und (0,0) geht?

Antworten:

Ein Radiuskreis #sqrt (85) # und zentrum #(-6,-7)#

Die Standardformel lautet: # (x + 6) ^ 2 + (y + 7) ^ 2 = 85 #

Oder, # x ^ 2 + 12x + y ^ 2 + 14y = 0 #

Erläuterung:

Die kartesische Gleichung eines Kreises mit Mittelpunkt # (a, b) # und Radius # r # ist:

# (x-a) ^ 2 + (y-b) ^ 2 = r ^ 2 #

Wenn der Kreis durch (0, -14) geht, dann:

# (0-a) ^ 2 + (-14-b) ^ 2 = r ^ 2 #

# a ^ 2 + (14 + b) ^ 2 = r ^ 2 # ………………………….. 1

Wenn der Kreis durch (0, -14) geht, dann:

# (-12-a) ^ 2 + (-14-b) ^ 2 = r ^ 2 #

# (12 + a) ^ 2 + (14 + b) ^ 2 = r ^ 2 # ………………………….. 2

Wenn der Kreis durch (0,0) geht, gilt Folgendes:

# (0-a) ^ 2 + (0-b) ^ 2 = r ^ 2 #

# a ^ 2 + b ^ 2 = r ^ 2 # ………………………….. 3

Wir haben jetzt 3 Gleichungen in 3 Unbekannten

Gleichung 2 - Gleichung 1 ergibt:

# (12 + a) ^ 2 -a ^ 2 = 0 #

#:. (12 + a-a) (12 + a + a) = 0 #

#:. 12 (12 + 2a) = 0 #

#:. a = -6 #

Subs # a = 6 # in Gleichung (3):

# 36 + b ^ 2 = r ^ 2 # ………………………….. 4

Subs # a = 6 # und # r ^ 2 = 36 + b ^ 2 #in Gl. 1:

# 36 + (14 + b) ^ 2 = 36 + b ^ 2 #

#:. (14 + b) ^ 2 - b ^ 2 = 0 #

#:. (14 + b-b) (14 + b + b) = 0 #

#:. 14 (14 + 2b) = 0 #

#:. b = -7 #

Und schließlich Subs # b = -7 # in Gleichung 4;

# 36 + 49 = r ^ 2 #

#:. r ^ 2 = 85 #

#:. r = sqrt (85) #

Und so ist die Gleichung des Kreises

# (x + 6) ^ 2 + (y + 7) ^ 2 = 85 #

Welches einen Radiuskreis darstellt #sqrt (85) # und zentrum #(-6,-7)#

Wir können uns multiplizieren, wenn nötig:

# x ^ 2 + 12x + 36 + y ^ 2 + 14y + 49 = 85 #

# x ^ 2 + 12x + y ^ 2 + 14y = 0 #