Was ist die Standardform der Gleichung der Parabel mit einem Fokus bei (2, -5) und einer Directrix von y = 6?

Antworten:

#y = -1 / 18x ^ 2 + 2 / 9x-5/18 larr # Dies ist eine Standardform.

Erläuterung:

Da die Directrix eine Horizontale ist, wissen wir, dass sich die Parabel nach oben oder unten öffnet und die Scheitelpunktform der Gleichung lautet:

#y = a (x-h) ^ 2 + k "1" #

Wir wissen, dass die x-Koordinate des Scheitelpunkts hist die gleiche wie die x-Koordinate des Fokus:

#h = 2 #

Ersetzen Sie dies in Gleichung 1:

#y = a (x-2) ^ 2 + k "2" #

Wir wissen, dass die y-Koordinate des Scheitelpunkts kist der Mittelpunkt zwischen dem Fokus und der Directrix:

#k = (y_ "focus" + y_ "directrix") / 2 #

#k = (-5 + 6) / 2 #

#k = -1 / 2 #

Ersetzen Sie dies in Gleichung 2:

#y = a (x-2) ^ 2-1 / 2 "3" #

Sei f = der vertikale Abstand vom Scheitelpunkt zum Fokussieren.

#f = -5 - (- 1/2) #

#f = -9 / 2 #

Wir können dies verwenden, um den Wert für "a" zu finden:

#a = 1 / (4 (f)) #

#a = 1 / (4 (-9/2) #

#a = -1 / 18 #

Ersetzen Sie dies in Gleichung 3:

#y = -1/18 (x-2) ^ 2-1 / 2 #

Erweitern Sie das Quadrat:

#y = -1/18 (x ^ 2-4x + 4) -1 / 2 #

Verwenden Sie die distributive Eigenschaft:

#y = -1 / 18x ^ 2 + 2 / 9x + 2 / 9-1 / 2 #

Kombinieren Sie die konstanten Begriffe:

#y = -1 / 18x ^ 2 + 2 / 9x-5/18 larr # Dies ist eine Standardform.