Wie verwenden Sie den Zwischenwertsatz, um zu überprüfen, ob im Intervall [0,1] für f (x) = x ^ 3 + x-1 eine Null vorhanden ist?

Antworten:

In diesem Intervall ist genau 1 Null.

Erläuterung:

Der Zwischenwertsatz gibt an, dass für eine kontinuierliche Funktion ein Intervall definiert ist # a, b # wir können lassen # c # eine Nummer mit sein

#f (a) <c <f (b) # und das #EE x in a, b # so dass #f (x) = c #.

Eine Folge davon ist das, wenn das Zeichen von #f (a)! = # Zeichen von #f (b) # Das bedeutet, dass es einige geben muss #x in a, b # so dass #f (x) = 0 # da #0# liegt offensichtlich zwischen den negativen und positiven.

Also, lassen Sie uns die Endpunkte wechseln:

#f (0) = 0 ^ 3 + 0 -1 = -1 #

#f (1) = 1 ^ 3 + 1 - 1 = 1 #

#deshalb# In diesem Intervall ist mindestens eine Null vorhanden. Um zu überprüfen, ob es nur eine Wurzel gibt, betrachten wir die Ableitung, die die Steigung ergibt.

#f '(x) = 3x ^ 2 + 1 #

Wir können das sehen #AA x in a, b, f '(x)> 0 # Die Funktion nimmt also in diesem Intervall immer zu - das heißt, es gibt nur eine Wurzel in diesem Intervall.