Was ist die Scheitelpunktform von 7y = - 13x ^ 2 -15x + 2?

Antworten:

# y = -13 / 7 (x + 15/26) ^ 2 + 329/364 #

Erläuterung:

Zuerst bringen Sie die Gleichung in ihre typische Form, indem Sie beide Seiten durch teilen #7#.

# y = -13 / 7x ^ 2-15 / 7x + 2/7 #

Nun wollen wir dies in eine Scheitelpunktform bringen:

# y = a (x-h) ^ 2 + k #

Erstens, Faktor die #-13/7# von den ersten beiden Begriffen. Beachten Sie das Factoring a #-13/7# von einem Begriff ist dasselbe wie das Multiplizieren des Begriffs mit #-7/13#.

# y = -13 / 7 (x ^ 2 + 15 / 13x) + 2/7 #

Nun möchten wir, dass der Begriff in den Klammern ein perfektes Quadrat ist. Perfekte Quadrate kommen in das Muster # (x + a) ^ 2 = x ^ 2 + 2ax + a ^ 2 #.

Hier die mittelfristige # 15 / 13x # ist die mittlere Laufzeit des perfekten quadratischen Trinoms, # 2ax #. Wenn wir was bestimmen wollen #ein# ist, teilen # 15 / 13x # durch # 2x # um das zu sehen # a = 15/26 #.

Das bedeutet, dass wir den fehlenden Begriff in Klammern einfügen möchten, um die Gruppe gleichzusetzen # (x + 15/26) ^ 2 #.

# y = -13 / 7über der Klammer ((x ^ 2 + 15 / 13x +?)) ^ ((x + 15/26) ^ 2) + 2/7 #

Der fehlende Begriff am Ende des perfekten quadratischen Trinoms ist # a ^ 2 #und das wissen wir # a = 15/26 #, so # a ^ 2 = 225/676 #.

Jetzt fügen wir hinzu #225/676# zu den Begriffen in Klammern. Wir können jedoch nicht ohne weiteres Zahlen zu Gleichungen hinzufügen. Wir müssen das, was wir gerade hinzugefügt haben, auf dieselbe Seite der Gleichung ausgleichen. (Wenn wir zum Beispiel hinzugefügt hätten #2#, müssten wir hinzufügen #-2# auf der gleichen Seite der Gleichung für eine Nettoveränderung von #0#).

# y = Farbe (blau) (- 13/7) (x ^ 2 + 15 / 13x + Farbe (blau) (225/676)) + 2/7 + Farbe (blau) #

Beachten Sie, dass wir nicht wirklich hinzugefügt haben #225/676#. Da es sich innerhalb der Klammern befindet, wird der Ausdruck von außen vervielfacht #225/676# hat tatsächlich einen Wert von

# 225 / 676xx-13/7 = 225 / 52xx-1/7 = -225 / 364 #

Da haben wir tatsächlich hinzugefügt #-225/364#, müssen wir ein positives hinzufügen #225/364# zur gleichen Seite

# y = -13 / 7 (x + 15/26) ^ 2 + 2/7 + 225/364 #

Beachten Sie, dass #2/7=104/364#, so

#Farbe (rot) (y = -13 / 7 (x + 15/26) ^ 2 + 329/364 #

Dies ist eine Scheitelpunktform, bei der sich der Scheitelpunkt der Parabola befindet # (h, k) -> (- 15 / 26.329 / 364) #.

Wir können unsere Arbeit überprüfen, indem wir die Parabel grafisch darstellen:

Graph {7y = - 13x ^ 2 -15x + 2 -4,93, 4,934, -2,466, 2,466}

Beachten Sie, dass #-15/26=-0.577# und #329/364=0.904#Dies sind die Werte, die durch Klicken auf den Scheitelpunkt erhalten werden.