Wie finde ich das Integral int (x * cos (5x)) dx?

Wir werden die Formel für die Integration durch Teile berücksichtigen, die lautet:

#int u dv = uv - int v du #

Um dieses Integral erfolgreich zu finden, lassen wir es #u = x #, und #dv = cos 5x dx #. Deshalb, #du = dx # und #v = 1/5 sin 5x #. (# v # kann mit einem schnellen gefunden werden # u #-Auswechslung)

Der Grund, warum ich gewählt habe # x # für den Wert von # u # ist, weil ich weiß, dass ich mich später integrieren werde # v # multipliziert mit # u #Ableitung. Da die Ableitung von # u # ist nur #1#und da die Integration einer Triggerfunktion an sich nicht komplexer wird, haben wir die Funktion effektiv entfernt # x # vom Integrand und müssen sich nur noch um den Sinus kümmern.

Wenn wir uns in die IBP-Formel einarbeiten, erhalten wir:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - int 1/5 sin 5x dx #

Ziehen Sie die #1/5# aus dem integrand gibt uns:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - 1/5 int sin 5x dx #

Die Integration des Sinus dauert nur a # u #-Auswechslung. Da haben wir schon gebraucht # u # Für die IBP-Formel werde ich den Brief verwenden # q # stattdessen:

#q = 5x #

#dq = 5 dx #

Um eine zu bekommen # 5 dx # Innerhalb des Integranden multipliziere ich das Integral mit einem anderen #1/5#:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - 1/25 int 5sin 5x dx #

Und alles in Bezug auf # q #:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - 1/25 int sinq * dq #

Wir wissen, dass das Integral von #Sünde# ist # -cos #, so können wir dieses Integral leicht beenden. Denken Sie an die Konstante der Integration:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 + 1/25 cos q + C #

Jetzt werden wir einfach zurückwechseln # q #:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 + (cos 5x) / 25 + C #

Und da ist unser Integral.