Antworten:
Die Schnittkurve kann als parametrisiert werden # (z, r) = ((81/2) sin2 theta, 9) #.
Erläuterung:
Ich bin mir nicht sicher, was Sie mit Vektorfunktion meinen. Ich verstehe es jedoch, dass Sie versuchen, die Schnittkurve zwischen den beiden Flächen in der Fragestellung darzustellen.
Da ist der Zylinder symmetrisch um die # z # Achse kann es einfacher sein, die Kurve in Zylinderkoordinaten auszudrücken.
Zu Zylinderkoordinaten wechseln:
#x = r cos theta #
#y = r sin theta #
#z = z #.
# r # ist der Abstand vom # z # Achse und # theta # ist der Winkel gegen den Uhrzeigersinn von # x # Achse in der # x, y # Ebene.
Dann wird die erste Oberfläche
# x ^ 2 + y ^ 2 = 81 #
# r ^ 2cos ^ 2 theta + r ^ 2sin ^ 2 theta = 81 #
# r ^ 2 = 81 #
# r = 9 #, wegen der pythagoreischen trigonometrischen Identität.
Die zweite Fläche wird
#z = xy #
#z = rcos theta rsin theta #
# z = r ^ 2sin theta cos theta #.
Aus der Gleichung der ersten Fläche haben wir gelernt, dass die Schnittkurve einen quadratischen Abstand haben muss # r ^ 2 = 81 # von der ersten Oberfläche, die das gibt
#z = 81 sin theta cos theta #, #z = (81/2) sin2 theta #, eine Kurve, die durch parametrisiert wird # theta #. Der letzte Schritt ist eine trigonometrische Identität und wird nur nach persönlichen Vorlieben ausgeführt.
Aus diesem Ausdruck geht hervor, dass die Kurve tatsächlich eine Kurve ist, da sie einen Freiheitsgrad hat.
Alles in allem können wir die Kurve als schreiben
# (z, r) = ((81/2) sin2 theta, 9) #, Dies ist eine vektorielle Funktion einer einzelnen Variablen # theta #.
Antworten:
Siehe unten.
Erläuterung:
Betrachtet man die Kreuzung von
# C_1 -> {(x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2), (z in RR):} #
mit
# C_2-> z = x y #
oder # C_1 nn C_2 #
wir haben
# {(x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2), (x ^ 2y ^ 2 = z ^ 2):} #
jetzt lösen für # x ^ 2, y ^ 2 # wir erhalten die parametrischen Kurven
# {(x ^ 2 = 1/2 (r ^ 2-sqrt (r ^ 2-4 z ^ 2))) (y ^ 2 = 1/2 (r ^ 2 + sqrt (r ^ 2-4 z ^ 2))):} # oder
# {(x = pm sqrt (1/2 (r ^ 2-sqrt (r ^ 2-4 z ^ 2)))) (y = pm sqrt (1/2 (r ^ 2 + sqrt (r ^ 2) -4 z ^ 2)))):} #
welche sind echt für
# r ^ 2-4 z ^ 2 ge 0 rArr z lepm (r / 2) ^ 2 #
Beigefügt ein Diagramm, das die Schnittkurve in Rot (ein Blatt) zeigt.
