Antworten:
# x = 9 #
Erläuterung:
Wir suchen nach der größten Ganzzahl, bei der:
#f (x)> g (x) #
# 5x ^ 4 + 30x ^ 2 + 9> 3 ^ x #
Es gibt einige Möglichkeiten, dies zu erreichen. Man muss einfach ganze Zahlen ausprobieren. Versuchen wir es als Basis # x = 0 #:
#5(0)^4+30(0)^2+9>3^0#
#0+0+9>1#
und so wissen wir das # x # ist mindestens 0, so dass keine negativen ganzen Zahlen getestet werden müssen.
Wir können sehen, dass die größte Leistung auf der linken Seite 4 ist. Versuchen wir es # x = 4 # und sehen was passiert:
#5(4)^4+30(4)^2+9>3^4#
#5(256)+30(4)^2+9>81#
Ich werde den Rest der Mathematik aufgeben - es ist klar, dass die linke Seite um einiges größer ist. Lass es uns versuchen # x = 10 #
#5(10)^4+30(10)^2+9>3^10#
#5(10000)+30(100)+9>59049#
#50000+3000+9>59049#
so # x = 10 # ist zu groß. Ich denke, unsere Antwort wird 9 sein.
#5(6561)+30(81)+9>19683#
#32805+30(81)+9>19683#
und wieder ist klar, dass die linke Seite größer ist als die rechte. Unsere letzte Antwort lautet also # x = 9 #.
Wie kann ich das anders finden? Wir hätten versuchen können, grafisch darzustellen. Wenn wir das als ausdrücken # (5x ^ 4 + 30x ^ 2 + 9) -3 ^ x = 0 #erhalten wir eine Grafik, die so aussieht:
Graph {(5x ^ 4 + 30x ^ 2 + 9) -3 ^ x 0, 11, -10000, 20000}
und wir können sehen, dass die Antwort um den Gipfel herum liegt # x = 8,5 # Marke, ist immer noch positiv bei # x = 9 # und wird vor dem Erreichen negativ # x = 10 # - machen # x = 9 # die größte ganze Zahl
Wie können wir das sonst tun? Wir könnten lösen # (5x ^ 4 + 30x ^ 2 + 9) -3 ^ x> 0 # algebraisch.
# 5x ^ 4 + 30x ^ 2 + 9-3 ^ x> 0 #
Um die Mathematik zu vereinfachen, werde ich zuerst die Werte von # x # zunehmen, beginnen die linken Seitenbegriffe irrelevant zu werden. Zunächst nimmt die Bedeutung der 9 ab, bis sie völlig irrelevant ist, und das Gleiche gilt für die # 30x ^ 2 # Begriff. Das reduziert sich also auf:
# 5x ^ 4> 3 ^ x #
#log (5x ^ 4)> log (3 ^ x) #
# 4log5x> xlog3 #
# 4log5 + 4logx> xlog3 #
# (4log5 + 4logx) / log3> x #
und ich denke, ich mache ein Chaos davon! Algebra ist kein einfacher Weg, um dieses Problem anzugehen!
