Wie lautet die Gleichung der Linie senkrecht zu y = -9 / 7x, die durch (3,7) geht?

Hallo, hier eine "ziemlich lange Antwort", aber keine Angst! es ist nur logik, wenn du das kannst, kannst du die Welt regieren, versprechen! Zeichne es auf ein Blatt Papier und alles wird in Ordnung sein (Zeichne es ohne Achse, die du nicht brauchst, es ist nur Geometrie:)) was du wissen musst: Grundlegende Trigonometrie, Pythagore, Determinante, Polarkoordinate und Skalarprodukt

Ich werde erklären, wie es hinter den Kulissen funktioniert

Zuerst müssen Sie zwei Punkte der Linie suchen

nehmen #x = 2 # du hast #y = -18 / 7 #

nehmen #x = 1 # y du hast #y = -9 / 7 #

Ok, du hast zwei Punkte #A = (2, -18 / 7) # und #B (1, -9 / 7) # diese Punkte liegen auf der Linie

Jetzt möchten Sie, dass der Vektor von diesen Punkten gebildet wird

#vec (AB) = (1-2, -9 / 7 + 18/7) = (-1,9 / 7) #

Nennen wir den Punkt #(3,7)# # P #

Stellen Sie sich nun die gewünschte Linie vor, die senkrecht zu unserer verläuft, sie schneiden sich in einem Punkt, nennen wir diesen Punkt # H # Wir wissen nicht was ist # H # und wir wollen es wissen.

Wir wissen zwei Dinge:

#vec (AP) = vec (AH) + vec (HP) #

und # vec (HP) _ | _ vec (AB) #

addiere die Determinante auf beiden Seiten

#det (vec (AP), vec (AB)) = det (vec (AH), vec (AB)) + det (vec (HP), vec (AB)) #

Nun bedenke das #det (vec (a), vec (b)) = a * b * sin (Theta) #

woher #ein# und # b # sind die Norm und # theta # der Winkel zwischen den beiden Vektoren

Offensichtlich #det (vec (AH), vec (AB)) = 0 # da #vec (AH) # und #vec (AB) # sind auf der gleichen Linie! so #theta = 0 # und #sin (0) = 0 #

#det (vec (AP), vec (AB)) = det (vec (HP), vec (AB)) #

Jetzt wollten Sie eine Linie senkrecht zu unserer Linie

#det (vec (HP), vec (AB)) = HP * AB * sin (pi / 2) = HP * AB #

Zum Schluss noch etwas berechnen

#det (vec (AP), vec (AB)) = HP * AB #

#det (vec (AP), vec (AB)) / (AB) = HP #

#vec (AP) = (3-2,7 + 18/7) = (1,67 / 7) #

#vec (AB) = (1-2, -9 / 7 + 18/7) = (-1,9 / 7) #

#det (vec (AP), vec (AB)) = 76/7 #

#AB = sqrt ((- 1) ^ 2 + (9/7) ^ 2) = sqrt (130) / 7 #

#HP = (76/7) / (sqrt (130) / 7) = 76 / sqrt (130) #

Ok, jetzt verwenden wir Pythagore, um zu haben #AH#

# (sqrt (4538) / 7) ^ 2 = (76 / sqrt (130)) ^ 2 + AH ^ 2 #

#AH = (277 sqrt (2/65)) / 7 #

Verwenden Sie Trigonometrie, um den Winkel durch bilden zu lassen #vec (AB) # und die Achse hat dann den Winkel, der durch gebildet wird #vec (AH) # und die Achse

Sie finden #cos (theta) = -7 / sqrt (130) #

Sie finden #sin (Theta) = 9 / sqrt (130) #

#x = Rcos (Theta) #

#y = rsin (Theta) #

Woher # r # ist die Norm also:

#x = -277 / 65 #

#y = 2493/455 #

#vec (AH) = (-277/65, 2493/455) #

#H = (-277/65 + 2, 2493/455 - 18/7) #

#H = (-147/65, 189/65) #

Jetzt haben Sie diesen Punkt, Sie können "AAAAAAAAAAAAAH" sagen, weil Sie bald fertig sind

Ich muss mir nur einen weiteren Punkt vorstellen #M = (x, y) # das kann überall sein

#vec (HM) # und #vec (AB) # Wenn und nur dann senkrecht, wenn #vec (HM) * vec (AB) = 0 #

Es ist nur weil #vec (a) * vec (b) = a * b * cos (Theta) # wenn sie senkrecht stehen #theta = pi / 2 # und #cos (theta) = 0 #

#vec (HM) = (x + 147/65), (y-189/65) #

#vec (HM) * vec (AB) = - (x + 147/65) +9/7 (y-189/65) #

# - (x + 147/65) +9/7 (y-189/65) = 0 # ist deine Linie

Punkt rot ist # H #

Punkt schwarz ist # P #

Linie blau ist #vec (AB) #

Sie können die zwei Zeilen sehen