Wie lösen Sie die Ungleichung 1 / (x + 1)> 3 / (x-2)?

Antworten:

#x <- 5/2 Farbe (weiß) (xx) # oder #Farbe (weiß) (xx) -1 <x <2 #

Erläuterung:

Beachten Sie zunächst, dass Ihre Ungleichheit nur definiert wird, wenn Ihre Nenner ungleich Null sind:

# x + 1! = 0 <=> x! = -1 #

#x - 2! = 0 <=> x! = 2 #

Nun wäre Ihr nächster Schritt, die Fraktionen "loszuwerden". Dies kann geschehen, wenn beide Seiten der Ungleichung mit multipliziert werden # x + 1 # und # x-2 #.

Sie müssen jedoch vorsichtig sein, denn wenn Sie eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multiplizieren, müssen Sie das Ungleichheitszeichen umkehren.

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Betrachten wir die verschiedenen Fälle:

Fall 1: #Farbe (weiß) (xxx) x> 2 #:

Beide #x + 1> 0 # und #x - 2> 0 # halt. So erhalten Sie:

#x - 2> 3 (x + 1) #

#x - 2> 3x + 3 #

… berechnen # -3x # und #+2# auf beiden Seiten…

# -2x> 5 #

… Teilen durch #-2# auf beiden Seiten. Wie #-2# ist eine negative Zahl, Sie müssen das Ungleichheitszeichen umkehren …

#x <- 5/2 #

Es gibt jedoch keine # x # das erfüllt beide die Bedingung #x> 2 # und #x <- 5/2 #. Daher gibt es in diesem Fall keine Lösung.

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Fall 2: #Farbe (weiß) (xxx) -1 <x <2 #:

Hier, #x + 1> 0 # aber #x - 2 <0 #. Daher müssen Sie das Ungleichheitszeichen einmal umdrehen und erhalten Folgendes:

#Farbe (weiß) (i) x - 2 <3 (x + 1) #

#Farbe (weiß) (x) -2x <5 #

… Teilen durch #-2# und das Ungleichheitszeichen erneut umdrehen …

#Farbe (weiß) (xxx) x> -5 / 2 #

Die Ungleichheit #x> -5 / 2 # gilt für alle # x # in der Pause # -1 <x <2 #. In diesem Fall haben wir also die Lösung # -1 <x <2 #.

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Fall 3: #color (weiß) (xxx) x <-1 #:

Hier sind beide Nenner negativ. Wenn Sie also die Ungleichung mit beiden multiplizieren, müssen Sie das Ungleichheitszeichen zweimal umdrehen und erhalten Folgendes:

#x - 2> 3x + 3 #

#Farbe (weiß) (i) -2x> 5 #

#Farbe (weiß) (xxi) x <- 5/2 #

Wie die Bedingung #x <-5 / 2 # ist restriktiver als die Bedingung #x <-1 #ist die Lösung für diesen Fall #x <- 5/2 #.

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Insgesamt ist die Lösung

#x <- 5/2 Farbe (weiß) (xx) # oder #Farbe (weiß) (xx) -1 <x <2 #

oder, wenn Sie eine andere Notation bevorzugen,

#x in (- oo, -5/2) uu (-1, 2) #.

Antworten:

# - oo, -5/2 uu -1, 2 #

Erläuterung:

# 1 / (x + 1)> 3 / (x-2) #

Lassen Sie alles auf der linken Seite der Ungleichung passieren, indem Sie subtrahieren # 3 / (x-2) #:

# 1 / (x + 1) -3 / (x-2)> 0 #

Nun müssen wir alle die Ungleichung, die wir denselben Nenner haben. Der Teil mit (x + 1) multiplizieren wir mit # (x-2) / (x-2) # (was 1 ist!) und umgekehrt:

# (x-2) / ((x + 1) (x-2)) - (3 (x + 1)) / ((x + 1) (x-2))> 0 #

Wir haben den Trick schon einmal gemacht, alle Ungleichungen mit demselben Nenner zu haben:

# (- 2x-5) / ((x + 1) (x-2))> 0 #.

# (x + 1) (x-2) # entspricht einer Parabel, die positive Werte im Ineterval ergibt # -oo, -1 uu 2, + oo # und negative Werte im Intervall #-1, 2#. Denken Sie daran, dass x nicht -1 oder 2 sein kann, weil der Nenner Null ist.

Im ersten Fall (Nenner positiv) können wir die Ungleichung vereinfachen in:

# -2x-5> 0 # und #x in -oo, -1 uu 2, + oo #

was gibt:

#x <-5 / 2 # und #x in -oo, -1 uu 2, + oo #.

Das Abfangen von Intervallen oben ergibt #x <-5 / 2 #.

Im zweiten Fall ist der Nenner negativ. Wenn das Ergebnis eine positive Zahl ergibt, muss der Zähler negativ sein:

# -2x-5 <0 # und # x in -1, 2 #

was gibt

#x> -5 / 2 #. und # x in -1, 2 #

Das Abfangen von Intervallen gibt # x in -1, 2 #

Die Lösungen der beiden Fälle vereinigen wir:

# - oo, -5/2 uu -1, 2 #