X ^ 4-10x ^ 2 + 1 = 0 hat eine Wurzel x = sqrt (2) + sqrt (3). Was sind die anderen drei Wurzeln und warum?

Antworten:

Die anderen drei Wurzeln sind #x = sqrt (2) -sqrt (3) #, #x = -sqrt (2) + sqrt (3) # und #x = -sqrt (2) -sqrt (3) #. Was das Warum angeht, lass mich dir eine Geschichte erzählen …

Erläuterung:

Herr Rational lebt in der Stadt Algebra.

Er kennt alle Zahlen des Formulars # m / n # woher # m # und # n # sind ganze Zahlen und #n! = 0 #.

Er ist ziemlich glücklich, Polynome zu lösen # 3x + 8 = 0 # und # 6x ^ 2-5x-6 = 0 #, aber es gibt viele, die ihn rätseln.

Sogar ein scheinbar einfaches Polynom # x ^ 2-2 = 0 # scheint unlöslich.

Sein reicher Nachbar, Mr. Real, hat Mitleid mit ihm. "Was Sie brauchen, ist eine sogenannte Quadratwurzel #2#. Hier gehts. "Mit diesen Worten übergibt Mr. Real eine mysteriöse, glänzende blaue Nummer # R_2 # an Herrn Rational. Alles, was er über diese Nummer sagt, ist das # R_2 ^ 2 = 2 #.

Mr. Rational geht zurück zu seinem Studium und hat ein Spiel mit diesem mysteriösen # R_2 #.

Nach kurzer Zeit stellt er fest, dass er Zahlen des Formulars hinzufügen, subtrahieren, multiplizieren und dividieren kann # a + b R_2 # woher #ein# und # b # sind rational und enden mit Zahlen derselben Form. Das merkt er auch # x ^ 2-2 = 0 # hat nämlich eine andere lösung # -R_2 #.

Er ist jetzt nicht mehr in der Lage zu lösen # x ^ 2-2 = 0 #, aber # x ^ 2 + 2x-1 = 0 # und viele andere.

Viele andere Polynome umgehen immer noch die Lösung. Zum Beispiel, # x ^ 2-3 = 0 #, aber Mr. Real gibt ihm gerne eine glänzende grüne Nummer # R_3 # das löst das eine.

Herr Rational stellt bald fest, dass er alle Zahlen ausdrücken kann, die er machen kann # a + b R_2 + c R_3 + d R_2 R_3 #, woher #ein#, # b #, # c # und # d # sind rational

Eines Tages versucht Mr. Rational zu lösen # x ^ 4-10x ^ 2 + 1 = 0 #. Er findet das # x = R_2 + R_3 # ist eine Lösung.

Bevor er nach weiteren Lösungen sucht, stößt er mit seinem Nachbarn Mr. Real zusammen. Er dankt Herrn Real für das Geschenk von # R_2 # und # R_3 #, aber hat eine Frage zu ihnen. "Ich habe vergessen zu fragen:", sagt er, "sind sie positiv oder negativ?" "Ich dachte nicht, dass es Ihnen etwas bedeutet", sagte Mr. Real. "Solange Sie Polynome mit rationalen Koeffizienten lösen, spielt es keine Rolle. Die Regeln, die Sie zum Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren Ihrer neuen Zahlen gefunden haben, funktionieren mit beiden gleich gut. Eigentlich denke ich, dass Sie die eine sind namens # R_2 # nennen die meisten Leute dies # -sqrt (2) # und den, den du angerufen hast # R_3 # nennen die meisten Leute dies #sqrt (3) #'.

Also für die neuen Nummern von Herrn Rational # a + b R_2 + c R_3 + d R_2 R_3 # es spielt keine Rolle, ob # R_2 # und / oder # R_3 # sind im Hinblick auf das Lösen von Polynomen mit rationalen Koeffizienten positiv oder negativ.

Drei Griechen, drei Amerikaner und drei Italiener sitzen wahllos um einen runden Tisch. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Personen in den drei Gruppen zusammen sitzen?

3/280 Zählen wir die Sitzmöglichkeiten aller drei Gruppen nebeneinander und vergleichen Sie diese mit der Anzahl der Sitzplätze aller 9 Gruppen. Wir nummerieren die Personen 1 bis 9 und die Gruppen A, G, I. Überbrückung Stackrel A (1, 2, 3), Überbrückung Stackrel G (4, 5, 6), Überbrückung Stackrel I (7, 8, 9) ) Es gibt 3 Gruppen, also gibt es 3! = 6 Möglichkeiten, die Gruppen in einer Zeile anzuordnen, ohne ihre internen Ordnungen zu stören: AGI, AIG, GAI, GIA, IAG, IGA. Dies gibt uns bisher 6 gültige Permuationen. In jeder Gruppe gibt es 3 Mitglieder, also wieder

Phoenix sagt: "Drei Zehntel sind weniger als dreißig Hundertstel, weil drei weniger als dreißig sind." Stimmt er?

Er ist nicht richtig Drei Zehntel sind drei Stücke aus zehn gleichen Teilen, in die ein Objekt geschnitten wird. Dreißig Hundertstel sind dreißig Stücke aus hundert gleichen Stücken, in die derselbe Gegenstand geschnitten wurde. Daher sind sie gleich. In einer leichteren Ader können drei Stücke aus zehn gleichen Stückchen Kuchen tatsächlich mehr als dreißig Stück sein, die aus hundert gleichen Stückchen des gleichen Kuchens entnommen werden, da die Aufteilung in Hundert Stückchen mehr Krümel bilden kann.

Q.1 Wenn alpha, beta die Wurzeln der Gleichung x ^ 2-2x + 3 = 0 sind, erhält man die Gleichung, deren Wurzeln alpha ^ 3-3 alpha ^ 2 + 5 alpha -2 und beta ^ 3-beta ^ 2 + sind Beta + 5?

Q.1 Wenn alpha, beta die Wurzeln der Gleichung x ^ 2-2x + 3 = 0 sind, erhält man die Gleichung, deren Wurzeln alpha ^ 3-3 alpha ^ 2 + 5 alpha -2 und beta ^ 3-beta ^ 2 + sind Beta + 5? Antwort gegebene Gleichung x ^ 2-2x + 3 = 0 => x = (2pmsqrt (2 ^ 2-4 * 1 * 3)) / 2 = 1pmsqrt2i Sei alpha = 1 + sqrt2i und beta = 1-sqrt2i Nun sei gamma = alpha ^ 3-3 alpha ^ 2 + 5 alpha -2 => gamma = alpha ^ 3-3 alpha ^ 2 + 3 alpha -1 + 2alpha-1 => gamma = (alpha-1) ^ 3 + alpha-1 + alpha => gamma = (sqrt2i) ^ 3 + sqrt2i + 1 + sqrt2i => gamma = -2sqrt2i + sqrt2i + 1 + sqrt2i = 1 Und sei Delta = beta ^ 3-beta ^ 2 + beta + 5