Drei Griechen, drei Amerikaner und drei Italiener sitzen wahllos um einen runden Tisch. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Personen in den drei Gruppen zusammen sitzen?

Antworten:

#3/280#

Erläuterung:

Zählen wir die Möglichkeiten, wie alle drei Gruppen nebeneinander sitzen könnten, und vergleichen Sie dies mit der Anzahl der wahllosen Sitzmöglichkeiten aller 9 Gruppen.

Wir werden die Personen von 1 bis 9 und die Gruppen nummerieren #A, G, I. #

#stackrel A Überbrückung (1, 2, 3), Stackrel G Überbrückung (4, 5, 6), Stackrel I Überbrückung (7, 8, 9) #

Es gibt 3 Gruppen, also gibt es #3! = 6# Möglichkeiten, die Gruppen in einer Reihe anzuordnen, ohne ihre internen Ordnungen zu stören:

#AGI, AIG, GAI, GIA, IAG, IGA #

Dies gibt uns bisher 6 gültige Aussagen.

In jeder Gruppe gibt es 3 Mitglieder, also wieder #3! = 6# Möglichkeiten, die Mitglieder in jeder der 3 Gruppen anzuordnen:

#123, 132, 213, 231, 312, 321#

#456, 465, 546, 564, 645, 654#

#789, 798, 879, 897, 978, 987#

Kombiniert mit den 6 Möglichkeiten, die Gruppen anzuordnen, haben wir jetzt #6^4# gültige Permutationen bisher.

Und da wir uns an einem runden Tisch befinden, lassen wir die drei Arrangements zu, bei denen die erste Gruppe an einem Ende "die Hälfte" und am anderen Ende "die Hälfte" sein kann:

# "A A A G G G I I I" #

# "A A G G G I I I A" #

# "A G G G I I I A A" #

Die Gesamtzahl der Möglichkeiten, alle drei Gruppen zusammen zu setzen, ist # 6 ^ 4 xx 3. #

Die Anzahl der zufälligen Möglichkeiten, alle 9 Personen zu arrangieren, ist #9!#

Die Wahrscheinlichkeit, zufällig eine der "erfolgreichen" Möglichkeiten zu wählen, ist dann

# (6xx6xx6xx6xx3) / (9xx8xx7xx6xx5xx4xx3xx2xx1) #

# = (3) / (2xx7xx5xx4) #

#=3/280#