Was sind die lokalen Extrema von f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x?

Antworten:

#f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x # hat ein lokales Minimum für # x = 1 # und ein lokales Maximum für # x = 3 #

Erläuterung:

Wir haben:

#f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x #

Die Funktion ist in allen definiert # RR # wie # x ^ 2 + 3> 0 AA x #

Wir können die kritischen Punkte identifizieren, indem wir herausfinden, wo die erste Ableitung gleich Null ist:

#f '(x) = (4x) / (x ^ 2 + 3) -1 = - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) #

# - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) = 0 #

# x ^ 2-4x + 3 = 0 #

# x = 2 + -sqrt (4-3) = 2 + -1 #

Die kritischen Punkte sind also:

# x_1 = 1 # und # x_2 = 3 #

Da der Nenner immer positiv ist, ist das Vorzeichen von #f '(x) # ist das Gegenteil des Vorzeichens des Zählers # (x ^ 2-4x + 3) #

Nun wissen wir, dass ein Polynom zweiter Ordnung mit positivem Leitkoeffizienten außerhalb des Intervalls zwischen den Wurzeln und negativ im Intervall zwischen den Wurzeln positiv ist, so dass:

#f '(x) <0 # zum #x in (-oo, 1) # und #x in (3, + oo) #

#f '(x)> 0 # zum #x in (1,3) #

Wir haben dann das #f (x) # nimmt in ab # (- oo, 1) #steigend in #(1,3)#und wieder abnehmend # (3, + oo) #, damit # x_1 = 1 # muss ein lokales Minimum sein und # x_2 = 3 # muss ein lokales Maximum sein.

Graph {2ln (x ^ 2 + 3) -x -1.42, 8.58, -0.08, 4.92}