Was ist ein Hilbert-Raum? + Beispiel

Der Hilbert-Raum ist eine Menge von Elementen mit bestimmten Eigenschaften, nämlich:

es handelt sich um einen Vektorraum (es gibt also für Vektoren typische Operationen, z. B. Multiplikation mit einer reellen Zahl und Addition, die kommutativen und assoziativen Gesetzen genügen);

Zwischen zwei beliebigen Elementen gibt es ein Skalarprodukt (manchmal auch als Inneres oder Punkt bezeichnet), das eine reelle Zahl ergibt.

Unser dreidimensionaler euklidischer Raum ist beispielsweise ein Beispiel für einen Hilbert-Raum mit Skalarprodukt von # x = (x_1, x_2, x_3) # und # y = (y_1, y_2, y_3) # gleich # (x, y) = x_1 * y_1 + x_2 * y_2 + x_3 * y_3 #.

Ein interessanteres Beispiel ist ein Bereich aller fortlaufenden Funktionen in einem Segment # a, b # mit einem Skalarprodukt definiert als

# (f, g) = int_a ^ b f (x) * g (x) dx #

In der Quantenphysik spielt der Hilbert-Raum eine wichtige Rolle als Funktion, die den Zustand eines Systems beschreibt # Psi # ist ein Element eines Hilbert-Raums.

Kann ich weiterempfehlen

http://www.phy.ohiou.edu/~elster/lectures/qm1_1p2.pdf

als Einführung in die Verwendung des Hilbert-Raums in der Quantenphysik.