Frage 39 lösen?

Antworten:

B

Erläuterung:

Erstens sollten wir die Tatsache nutzen, dass die Zahlen fortlaufend sein müssen, indem wir die Nummern anrufen, die wir wählen # n-1, n, n + 1 #, wenn wir uns an die Zwänge halten # n # muss zwischen sein #-9# und #9# inklusive.

Beachten Sie zweitens, dass wir einen bestimmten Wert für einen bestimmten Wert erhalten #ABC#können wir diese spezifischen Werte austauschen, aber immer noch dasselbe Ergebnis erzielen. (Ich glaube, dies wird als permeable bezeichnet, aber den richtigen Begriff vergessen)

Also können wir es einfach lassen # a = n-1 #,# b = n #,# c = n + 1 #, jetzt stecken wir das hier rein:

# (a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 + 3abc) / (a + b + c) ^ 2 #

# = ((n-1) ^ 3 + n ^ 3 + (n + 1) ^ 3 + 3 (n-1) (n) (n + 1)) / (n-1 + n + n + 1) ^ 2 #

# = (n ^ 3-3n ^ 2 + 3n-1 + n ^ 3 + n ^ 3 + 3n ^ 2 + 3n + 1 + 3n (n ^ 2-1)) / (3n) ^ 2 #

# = (n ^ 3 + 3n + n ^ 3 + n ^ 3 + 3n + 3n ^ 3-3) / (9n ^ 2) #

# = (6n ^ 3 + 6n-3) / (9n ^ 2) #

# = (2n ^ 3 + 2n-1) / (3n ^ 2) #

Nun wird es unser Problem zu sehen, für welche Werte # -9 <= n <= 9 # Der Ausdruck gibt einen ganzzahligen Wert an, wie viele verschiedene Werte wir erhalten.

Ich werde die Lösung in einer separaten Antwort fortsetzen, nur um sie lesbarer zu machen.

Antworten:

Teil 2 meines Sol'n. Hierbei wird die modulare Arithmetik verwendet. Wenn Sie sich jedoch nicht damit auskennen, besteht immer die Möglichkeit, alle erforderlichen Werte von einzugeben # n #

Erläuterung:

Da der Ausdruck ein ganzzahliger Wert sein muss, muss der untere Wert den oberen Wert genau teilen. Der Zähler sollte also den Faktor 3 haben. Dafür sollten wir die modulare Arithmetik verwenden.

Prüfen Sie, für welche n erfüllt ist: # 2n ^ 3 + 2n-1- = 0 mod3 #

# 2n ^ 3 + 2n- = 1 mod3 #

# 2n ^ 3 + 2n - = - 2 mod3 #

# n ^ 3 + n - = - 1 mod3 #

Jetzt Fallarbeit:

1. Wir versuchen es # n = 3k #

# LHS = (3k) ^ 3 + 3k #

# = 3 (9k ^ 3 + k) - = 0 mod3 #, das geht nicht

2. Wir versuchen es # n = 3k + 1 #

# LHS = (3k + 1) ^ 3 + (3k + 1) #

# = (3k + 1) ^ 3 + (3k + 1) #

# = 27k ^ 3 + 27k ^ 2 + 27k + 1 + 3k + 1 #

# - = 2 - = - 1 mod3 #was funktioniert

3. Wir versuchen es # n = 3k-1 #:

# LHS = (3k-1) ^ 3 + (3k-1) #

# = 27k ^ 3-27k ^ 2 + 27k-1 + 3k-1 #

#-=-2-=1#, das geht nicht

Also leiten wir das ab # n # muss von der Form sein # 3k + 1 #oder ein mehr als ein Vielfaches von 3. Betrachtet man unseren Bereich für n, so ist dies # -9 <= n <= 9 #haben wir die möglichen Werte von:

# n = -8, -5, -2,1,4,7 #.

An dieser Stelle können Sie die Tatsache verwenden, dass # n = 3k + 1 #Aber mit nur 6 zu überprüfenden Werten entschied ich mich stattdessen, stattdessen jeden zu berechnen, und den einzigen Wert für # n # das funktioniert ist # n = 1 #, das Ergebnis von produzieren #1#.

Schließlich ist der einzige Satz von fortlaufenden Zahlen, der ein ganzzahliges Ergebnis erzeugt #0,1,2#geben #1# Daher lautet die Antwort # B #