Was ist der Satz von DeMoivre? + Beispiel

Der Satz von DeMoivre erweitert die Formel von Euler:

# e ^ (ix) = cosx + isinx #

Der Satz von DeMoivre sagt:

• # (e ^ (ix)) ^ n = (cosx + isinx) ^ n #
• # (e ^ (ix)) ^ n = e ^ (i nx) #
• # e ^ (inx) = cos (nx) + isin (nx) #
• #cos (nx) + isin (nx) - = (cosx + isinx) ^ n #

Beispiel:

#cos (2x) + isin (2x) - = (cosx + isinx) ^ 2 #

# (cosx + isinx) ^ 2 = cos ^ 2x + 2icosxsinx + i ^ 2sin ^ 2x #

Jedoch, # i ^ 2 = -1 #

# (cosx + isinx) ^ 2 = cos ^ 2x + 2icosxsinx-sin ^ 2x #

Lösung für reale und imaginäre Teile von # x #:

# cos ^ 2x-sin ^ 2x + i (2cosxsinx) #

Verglichen mit #cos (2x) + isin (2x) #

#cos (2x) = cos ^ 2x-sin ^ 2x #

#sin (2x) = 2sinxcosx #

Dies sind die Doppelwinkelformeln für # cos # und #Sünde#

Dies erlaubt uns zu expandieren #cos (nx) # oder #sin (nx) # in Bezug auf die Kräfte von # sinx # und # cosx #

Der Satz von DeMoivre kann weiter ausgeführt werden:

Gegeben # z = cosx + isinx #

# z ^ n = cos (nx) + isin (nx) #

#z ^ (- n) = (cosx + isinx) ^ (- n) = 1 / (cos (nx) + isin (nx)) #

#z ^ (- n) = 1 / (cos (nx) + isin (nx)) xx (cos (nx) -isin (nx)) / (cos (nx) -isin (nx)) = (cos (nx.)) -isin (nx)) / (cos ^ 2 (nx) + sin ^ 2 (nx)) = cos (nx) -isin (nx) #

# z ^ n + z ^ (- n) = 2cos (nx) #

# z ^ n-z ^ (- n) = 2isin (nx) #

Also, wenn du ausdrücken willst # sin ^ nx # in mehreren Winkeln von # sinx # und # cosx #:

# (2isinx) ^ n = (z-1 / z) ^ n #

Erweitern und einfach Werte eingeben für # z ^ n + z ^ (- n) # und # z ^ n-z ^ (- n) # wo nötig.

Wenn es jedoch beteiligt ist # cos ^ nx #Dann würden Sie tun # (2cosx) ^ n = (z + 1 / z) ^ n # und folge den gleichen Schritten.