Was sind die lokalen Extrema von f (x) = x ^ 2 + 9x + 1?

Antworten:

Parabolen haben genau ein Extrem, den Scheitelpunkt.

Es ist #(-4 1/2, -19 1/4)#.

Schon seit # {d ^ 2 f (x)} / dx = 2 # Überall ist die Funktion überall konkav und dieser Punkt muss ein Minimum sein.

Erläuterung:

Sie haben zwei Wurzeln, um den Scheitelpunkt der Parabel zu finden: Erstens: Verwenden Sie den Kalkül, um herauszufinden, wo die Ableitung Null ist. Zweitens vermeiden Sie Kalkül um jeden Preis und füllen Sie einfach das Quadrat aus. Wir werden Kalkül für die Praxis verwenden.

#f (x) = x ^ 2 + 9x + 1 #Wir müssen die Ableitung davon nehmen.

# {df (x)} / dx = {d} / dx (x ^ 2 + 9x + 1) #

Durch die Linearität der Ableitung haben wir

# {df (x)} / dx = {d} / dx (x ^ 2) + {d} / dx (9x) + {d} / dx (1) #.

Mit der Potenzregel # d / dx x ^ n = n x ^ {n-1} # wir haben

# {df (x)} / dx = 2 * x ^ 1 + 9 * 1 * x ^ 0 + 0 = 2x + 9 #.

Wir setzen dies auf Null, um die kritischen Punkte zu finden, die lokalen und globalen Minima und Maxima und manchmal Wendepunkte haben Ableitungen von Null.

# 0 = 2x + 9 # #=># # x = -9 / 2 #,

Wir haben also einen kritischen Punkt an # x = -9 / 2 # oder #-4 1/2#.

Um die y-Koordinate des kritischen Punktes zu finden, werden wir subjektiert # x = -9 / 2 # zurück in die funktion, #f (-9/2) = (- 9/2) ^ 2 + 9 (-9/2) +1 = 81/4 - 81/2 + 1 #

#=81/4 - 162/4 + 4/4=-77/4=-19 1/4#.

Der kritische Punkt / Scheitelpunkt ist #(-4 1/2, -19 1/4)#.

Wir wissen das weil #a> 0 #Dies ist ein Maximum.

Um formal herauszufinden, ob es sich um ein Maxima oder ein Minimum handelt, müssen wir den zweiten Ableitungstest durchführen.

# {d ^ 2f (x)} / dx = {d} / dx (2x + 9) = {d} / dx (2x) + {d} / dx (9) = 2 + 0 = 2 #

Die zweite Ableitung ist bei allen Werten von x 2. Das heißt, es ist überall größer als Null und die Funktion ist überall konkav (es ist eine Parabel mit) #a> 0 # Immerhin), also muss das Extrem ein Minimum sein, der Scheitelpunkt.