Wie ist das Endverhalten der Funktion f (x) = ln x?

#f (x) = ln (x) -> infty # wie #x -> infty # (#ln (x) # wächst ohne gebunden als # x # wächst ungebunden) und #f (x) = ln (x) -> - infty # wie #x -> 0 ^ {+} # (#ln (x) # wächst ungebunden in die negative Richtung als # x # nähert sich Null von rechts).

Um die erste Tatsache zu beweisen, müssen Sie im Wesentlichen die zunehmende Funktion zeigen #f (x) = ln (x) # hat keine horizontale Asymptote als #x -> infty #.

Lassen #M> 0 # eine beliebige positive Zahl sein (egal wie groß). Ob #x> e ^ {M} #, dann #f (x) = ln (x)> ln (e ^ {M}) = M # (schon seit #f (x) = ln (x) # ist eine zunehmende Funktion). Dies beweist, dass jede horizontale Linie # y = M # kann keine horizontale Asymptote von sein #f (x) = ln (x) # wie #x -> infty #. Die Tatsache, dass #f (x) = ln (x) # ist eine zunehmende Funktion, die jetzt impliziert #f (x) = ln (x) -> infty # wie # x-> infty #.

Um die zweite Tatsache zu beweisen, lassen Sie #M> 0 # eine beliebige positive Zahl sein, damit # -M <0 # ist eine beliebige negative Zahl (egal wie weit von Null entfernt). Ob # 0 <x <e ^ {- M} #, dann #f (x) = ln (x) < ln (e ^ {- M}) = - M # (schon seit #f (x) = ln (x) # nimmt zu) Das beweist das #f (x) = ln (x) # wird unterhalb einer horizontalen Linie, wenn # 0 <x # ist ausreichend nahe bei null. Das bedeutet #f (x) = ln (x) -> - infty # wie #x -> 0 ^ {+} #.