Der Radius eines Kreises, der in ein gleichseitiges Dreieck eingeschrieben ist, beträgt 2. Wie groß ist der Umfang des Dreiecks?

Antworten:

Umfang entspricht # 12sqrt (3) #

Erläuterung:

Es gibt viele Möglichkeiten, dieses Problem anzugehen.

Hier ist einer von ihnen.

Der Mittelpunkt eines Kreises, der in ein Dreieck eingeschrieben ist, liegt am Schnittpunkt der Winkelhalbierenden seiner Winkel. Für das gleichseitige Dreieck ist dies derselbe Punkt, an dem sich auch die Höhen und Medianwerte schneiden.

Jeder Median wird durch einen Schnittpunkt mit anderen Medianen proportional geteilt #1:2#. Daher entsprechen der Mittelwert, die Höhe und die Winkelhalbierenden eines fraglichen gleichseitigen Dreiecks dem Wert von

#2+2+2 = 6#

Jetzt können wir den Satz des Pythagoreos verwenden, um eine Seite dieses Dreiecks zu finden, wenn wir dessen Höhe / Median / Winkelhalbierende kennen.

Wenn eine Seite ist # x #aus dem Satz des Pythagoras

# x ^ 2 - (x / 2) ^ 2 = 6 ^ 2 #

Davon:

# 3x ^ 2 = 144 #

#sqrt (3) x = 12 #

#x = 12 / sqrt (3) = 4sqrt (3) #

Der Umfang entspricht drei solcher Seiten:

# 3x = 12sqrt (3) #.

Antworten:

Umfang entspricht # 12sqrt (3) #

Erläuterung:

Alternative Methode ist unten.

Nehmen wir an, unser gleichseitiges Dreieck ist #Delta ABC # und es ist Mittelpunkt eines eingeschriebenen Kreises #O#.

Zeichne aus dem Scheitelpunkt eine Mittel- / Höhenwinkel-Winkelhalbierende #EIN# durch Punkt #O# bis es die Seite schneidet # BC # am Punkt # M #. Offensichtlich, # OM = 2 #.

Betrachten Sie das Dreieck #Delta OBM #.

Es ist Recht schon seit #OM_ | _BM #.

Winkel # / _ OBM = 30 ^ o # schon seit # BO # ist eine Winkelhalbierende von #/_ABC#.

Seite # BM # ist die Hälfte der Seite # BC # schon seit # AM # ist ein Median.

Jetzt können wir finden # OB # als Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck mit einem spitzen Winkel gleich # 30 ^ o # und Kathetus gleich gegenüber #2#. Diese Hypotenuse ist also doppelt so lang wie diese Kathete #4#.

Hypotenuse haben # OB # und Katheter # OM #, finde eine andere Kathete # BM # von Pythagoräes Theorem:

# BM ^ 2 = OB ^ 2 - OM ^ 2 = 16-4 = 12 #

Deshalb,

# BM = sqrt (12) = 2sqrt (3) #

#BC = 2 * BM = 4sqrt (3) #

Umfang ist

# 3 * BC = 12sqrt (3) #