Wie finden Sie die binomiale Erweiterung für (2x + 3) ^ 3?

Antworten:

# (2x + 3) ^ 3 = 8x ^ 3 + 36x ^ 2 + 54x + 27 #

Erläuterung:

Mit dem Pascal-Dreieck können Sie leicht jede Binomialerweiterung finden:

Jeder Term dieses Dreiecks ist das Ergebnis der Summe von zwei Termen in der oberen Zeile. (Beispiel in rot)

#1#

#1. 1#

#Farbe (blau) (1. 2. 1) #

# 1. Farbe (rot) 3. Farbe (rot) 3. 1 #

# 1. 4. farbe (rot) 6. 4. 1 #

…

Außerdem enthält jede Zeile die Informationen einer binomialen Erweiterung:

Die 1. Zeile für die Macht #0#

Der zweite für die Macht #1#

Der dritte für die Macht #2#…

Zum Beispiel: # (a + b) ^ 2 # Wir werden die dritte Zeile in Blau nach dieser Erweiterung verwenden:

# (a + b) ^ 2 = Farbe (blau) 1 * a ^ 2 * b ^ 0 + Farbe (blau) 2 * a ^ 1 * b ^ 1 + Farbe (blau) 1 * a ^ 0 * b ^ 2 #

Dann: # (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 #

Auf die Macht #3#:

# (a + b) ^ 3 = Farbe (grün) 1 * a ^ 3 * b ^ 0 + Farbe (grün) 3 * a ^ 2 * b ^ 1 + Farbe (grün) 3 * a ^ 1 * b ^ 2 + farbe (grün) 1 * a ^ 0 * b ^ 3 #

Dann # (a + b) ^ 3 = a ^ 3 + 3a ^ 2b + 3ab ^ 2 + b ^ 3 #

Also hier haben wir #Farbe (rot) (a = 2x) # und #Farbe (blau) (b = 3) #:

Und # (2x + 3) ^ 3 = Farbe (rot) ((2x)) ^ 3 + 3 * Farbe (rot) ((2x)) ^ 2 * Farbe (blau) 3 + 3 * Farbe (rot) ((2x)) * Farbe (blau) 3 ^ 2 + Farbe (blau) 3 ^ 3 #

Deshalb: # (2x + 3) ^ 3 = 8x ^ 3 + 36x ^ 2 + 54x + 27 #

Antworten:

# (2x + 3) ^ 3 = 8x ^ 3 + 36x ^ 2 + 54x + 27 #

Erläuterung:

# (2x + 3) ^ 3 #

Verwenden Sie den Würfel einer Summenmethode, bei dem # (a + b) ^ 3 = a ^ 3 + 3a ^ 2b + 3ab ^ 2 + b ^ 3 #.

# a = 2x; # # b = 3 #

# (2x + 3) ^ 3 = (2x) ^ 3 + (3 * 2x ^ 2 * 3) + (3 * 2x * 3 ^ 2) + 3 ^ 3 # =

# 8x ^ 3 + (3 * 4x ^ 2 * 3) + (3 * 2x * 9) + 27 # =

# 8x ^ 3 + (9 * 4x ^ 2) + (27 * 2x) + 27 # =

# 8x ^ 3 + 36x ^ 2 + 54x + 27 #