Was ist der Bereich einer quadratischen Funktion?

Antworten:

Der Bereich von #f (x) = ax ^ 2 + bx + c # ist:

# {(c-b ^ 2 / (4a), oo) "wenn" a> 0), ((-oo, c-b ^ 2 / (4a)) "wenn" a <0):} #

Erläuterung:

Bei einer quadratischen Funktion:

#f (x) = ax ^ 2 + bx + c "" # mit #a! = 0 #

Wir können das Quadrat komplettieren und finden:

#f (x) = a (x + b / (2a)) ^ 2+ (c-b ^ 2 / (4a)) #

Für echte Werte von # x # der quadratische Begriff # (x + b / (2a)) ^ 2 # ist nicht negativ und nimmt seinen minimalen Wert an #0# wann #x = -b / (2a) #.

Dann:

#f (-b / (2a)) = c - b ^ 2 / (4a) #

Ob #a> 0 # dann ist dies der minimal mögliche Wert von #f (x) # und der Bereich von #f (x) # ist # c-b ^ 2 / (4a), oo) #

Ob #a <0 # dann ist dies der maximal mögliche Wert von #f (x) # und der Bereich von #f (x) # ist # (- oo, c-b ^ 2 / (4a) #

Eine andere Sichtweise ist das zu lassen #y = f (x) # und sehen, ob es eine Lösung für gibt # x # bezüglich # y #.

Gegeben:

#y = ax ^ 2 + bx + c #

Subtrahieren # y # von beiden Seiten zu finden:

# ax ^ 2 + bx + (c-y) = 0 #

Der Diskriminant #Delta# dieser quadratischen Gleichung lautet:

#Delta = b ^ 2-4a (c-y) = (b ^ 2-4ac) + 4ay #

Um echte Lösungen zu haben, brauchen wir #Delta> = 0 # und so:

# (b ^ 2-4ac) + 4ay> = 0 #

Hinzufügen # 4ac-b ^ 2 # zu beiden Seiten zu finden:

# 4ay> = 4ac-b ^ 2 #

Ob #a> 0 # dann können wir beide Seiten einfach durch teilen # 4a # bekommen:

#y> = c-b ^ 2 / (4a) #

Ob #a <0 # dann können wir beide Seiten durch teilen # 4a # und die Ungleichung umkehren, um zu erhalten:

#y <= c-b ^ 2 / (4a) #