Was sind die häufigsten Fehler, die Schüler mit Ellipsen in Standardform machen?

Das Standardformular für eine Ellipse (wie ich es lehre) sieht folgendermaßen aus: # (x-h) ^ 2 / a ^ 2 + (y-k) ^ 2 / b ^ 2 = 1 #.

(h, k) ist das Zentrum.

der Abstand "a" = wie weit nach rechts / links, um sich vom Mittelpunkt zu bewegen, um die horizontalen Endpunkte zu finden.

der Abstand "b" = wie weit nach oben / unten, um sich vom Mittelpunkt zu bewegen, um die vertikalen Endpunkte zu finden.

Ich denke, dass Studenten das oft falsch denken werden # a ^ 2 # ist wie weit entfernt von der Mitte, um die Endpunkte zu finden. Manchmal ist dies eine sehr große Entfernung!

Ich glaube auch, dass sich die Schüler manchmal irrtümlich auf / ab bewegen anstatt rechts / links, wenn sie diese Formeln auf ihre Probleme anwenden.

Hier ist ein Beispiel zum Besprechen:

# (x-1) ^ 2/4 + (y + 4) ^ 2/9 = 1 #

Das Zentrum ist (1, -4). Sie sollten sich nach rechts und links "a" = 2 Einheiten bewegen, um die horizontalen Endpunkte bei (3, -4) und (-1, -4) zu erhalten. (siehe Bild)

Sie sollten "b" = 3 Einheiten auf und ab bewegen, um die vertikalen Endpunkte bei (1, -1) und (1, -7) zu erhalten. (siehe Bild)

Da a <b liegt die Hauptachse in vertikaler Richtung.

Wenn a> b, geht die Hauptachse in horizontaler Richtung!

Wenn Sie weitere Informationen zu Ellipsen benötigen, stellen Sie eine andere Frage!

(Verwirrung darüber, ob #ein# und # b # repräsentieren die Haupt- / Nebenradien oder die # x #- & # y #-radii)

Denken Sie daran, dass das Standardformular für eine Ellipse ist am Ursprung zentriert ist

# x ^ 2 / (a ^ 2) + y ^ 2 / b ^ 2 = 1 #

Einige werden sich jedoch bereits mit der oben aufgeführten Formel auseinandersetzen. Einige Denkrichtungen halten das für richtig #ein# sollte immer größer sein als # b # und stellen somit die Länge des Hauptradius dar (auch wenn der Hauptradius in vertikaler Richtung liegt und somit zulässt) # y ^ 2 / a ^ 2 # in einem solchen Fall), während andere der Meinung sind, dass es immer die # x #-radius (auch wenn der # x #-radius ist der kleine Radius).

Dasselbe gilt für # b #wenn auch umgekehrt (das glauben manche # b # sollte immer der kleinere Radius sein, und andere glauben, dass es immer der sein sollte # y #-Radius).

Stellen Sie sicher, dass Sie wissen, welche Methode Ihr Lehrer (oder das von Ihnen verwendete Programm) bevorzugt. Wenn keine starke Präferenz besteht, dann entscheiden Sie sich doch einfach selbst Seien Sie im Einklang mit Ihrer Entscheidung. Wenn Sie Ihre Meinung auf halbem Weg durch die Aufgabe ändern, werden die Dinge unklar, und Ihre Meinung nach einer halben Minute Problem wird nur zu Fehlern führen.

(Radius / Achsenverwirrung)

Die Mehrzahl der Fehler in Ellipsen scheint sich aus dieser Verwirrung zu ergeben, welcher Radius groß und welcher geringfügig ist. Andere mögliche Fehler können auftreten, wenn man den Hauptradius mit der Hauptachse (oder den Nebenradius mit der Nebenachse) verwechselt. Die Hauptachse (oder Nebenachse) entspricht dem doppelten Hauptradius (oder Nebenradius), da es sich im Wesentlichen um den Hauptdurchmesser (oder Nebenradius) handelt. Abhängig von dem Schritt, in dem diese Verwirrung auftritt, kann dies zu schwerwiegenden Skalierungsfehlern für die Ellipse führen.

(Verwirrung des Radius / Radius im Quadrat)

Ein ähnlicher Fehler tritt auf, wenn die Schüler vergessen, dass die Nenner (# a ^ 2, b ^ 2 #) sind die Quadrate der Radien und nicht die Radien selbst. Es ist nicht ungewöhnlich, einen Schüler mit einem Problem wie zu sehen # x ^ 2/9 + y ^ 2/4 = 1 # Zeichne eine Ellipse mit # x #-Radius 9 und # y #-Radius 4. Ferner kann dies in Verbindung mit dem obigen Fehler (Verwirrung des Radius für den Durchmesser) auftreten, was zu Ergebnissen führt, z. B. wenn ein Schüler mit der obigen Gleichung eine Ellipse mit dem Hauptdurchmesser 9 (und somit dem Hauptradius 4,5) zeichnet. anstelle des korrekten Hauptdurchmessers 6 (und des Hauptradius 3).

(Hyperbel und Ellipse Verwirrung) ACHTUNG: Antwort ist ziemlich langwierig

Ein anderer relativ häufiger Fehler tritt auf, wenn man sich an die Formel für die Ellipse falsch erinnert. Insbesondere scheint der häufigste dieser Fehler aufzutreten, wenn man die Formel für Ellipsen mit der für Hyperbeln verwechselt # x ^ 2 / a ^ 2 -y ^ 2 / b ^ 2 = 1 # oder # y ^ 2 / b ^ 2 - x ^ 2 / a ^ 2 = 1 # für diejenigen, die im Ursprung zentriert sind, unterliegen sie den oben aufgeführten Konventionen für die Achsenbeschriftung). Es hilft dabei, sich an die Definition von Ellipsen und Hyperbeln als konische Abschnitte zu erinnern.

Insbesondere sei daran erinnert, dass eine Ellipse der Ort von Punkten ist, die sich auf zwei Brennpunkte beziehen # f_1 & f_2 # entlang der Hauptachse, so dass für einen beliebigen Punkt # p # an der Stelle die Entfernung von # p # zu # f_1 # (beschriftet # d_1 #) plus die Entfernung von # p # zu # f_2 # (beschriftet # d_2 #) entspricht dem doppelten Hauptradius (d. h. wenn #ein# ist der Hauptradius, # d_1 + d_2 = 2a #). Ferner die Entfernung von der Mitte zu einem dieser Brennpunkte (manchmal auch genannt) halbe Brennseparation oder lineare Exzentrizität), vorausgesetzt #ein# ist der Hauptradius, ist gleich #sqrt (a ^ 2-b ^ 2) #.

Im Gegensatz dazu ist eine Hyperbel der Ort von Punkten, der mit zwei Brennpunkten in Verbindung steht, und zwar für einen Punkt # p # auf dem Locus der absolute Wert von Unterschied zwischen dem Abstand des Punktes zum ersten Fokus und dem Abstand des Punkts zum zweiten Fokus ist das Doppelte des Hauptradius (d. h. mit #ein# Hauptradius, # | d_1 - d_2 | = 2a #). Ferner der Abstand vom Zentrum der Hyperbel zu einem dieser Brennpunkte (manchmal auch als lineare Exzentrizität bezeichnet und immer noch angenommen) #ein# Hauptradius) ist gleich #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

Bezogen auf die Definition von konischen Abschnitten ist der Gesamtwert Exzentrizität # e # eines Abschnitts bestimmt, ob es sich um einen Kreis handelt (# e = 0 #), Ellipse (# 0 <e <1 #), Parabel (# e = 1 #) oder Hyperbel (#e> 1 #). Für Ellipsen und Hyperbeln kann die Exzentrizität als Verhältnis der linearen Exzentrizität zur Länge des Hauptradius berechnet werden; für eine Ellipse wird es also sein #e = sqrt (a ^ 2-b ^ 2) / a = sqrt (1 - b ^ 2 / a ^ 2) # (und somit notwendigerweise weniger als 1), und für eine Hyperbel wird es sein #e = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) / a = sqrt (1 + b ^ 2 / a ^ 2) # (und somit notwendigerweise größer als 1).