Antworten:
Ich glaube nicht, dass diese Gleichung gültig ist. Ich gehe davon aus #abs (z) # ist die Absolutwertfunktion
Erläuterung:
Versuchen Sie es mit zwei Begriffen # z_1 = -1, z_2 = 3 #
#abs (z_1 + z_2) = abs (-1 + 3) = abs (2) = 2 #
#abs (z_1) + abs (z_2) = abs (-1) + abs (3) = 1 + 3 = 4 #
Daher
#abs (z_1 + z_2)! = abs (z_1) + abs (z_2) #
#abs (z_1 + … + z_n)! = abs (z_1) + … + abs (z_n) #
Vielleicht meinen Sie die Dreieck-Ungleichung für komplexe Zahlen:
# | z_1 + z_2 + … + z_n | le | z_1 | + | z_2 | + … + | z_n | #
Wir können das abkürzen
# | sum z_i | le sum | z_i | #
Wo sind die Summen? #sum_ {i = 1} ^ n #
Lemma. # text {Re} (z) le | z | #
Der Realteil ist niemals größer als die Größenordnung. Lassen # z = x + iy # für einige echte # x # und # y #. Deutlich # x ^ 2 le x ^ 2 + y ^ 2 # und Quadratwurzeln nehmen # x le sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} #. Die Größenordnung ist immer positiv; # x # kann oder darf nicht sein; So oder so ist es nie mehr als die Größenordnung.
Ich werde den Overbar für Konjugate verwenden. Hier haben wir eine reelle Zahl, die quadrierte Größe, die dem Produkt der Konjugate entspricht.Der Trick ist, dass es seinem eigenen Realteil entspricht. Der Realteil der Summe ist die Summe der Realteile.
# | sum z_i | ^ 2 = sum_i z_i bar (sum_j z_j) = text {Re} (sum_i z_i bar (sum_j z_j)) = sum_i text {Re} (z_i bar (sum_j z_j)) #
Durch unser Lemma und die Größe des Produkts ist das Produkt der Größen und die Größe der Konjugate ist gleich,
# | sum z_i | ^ 2 le sum_i | z_i bar (sum_j z_j) | = sum_i | z_i | | bar (sum_j z_j) | = sum_i | z_i | | sum_j z_j | #
Wir können einen Faktor der Summe der Summe löschen # | sum z_i | #Das ist positiv und bewahrt die Ungleichheit.
# | sum z_i | le sum | z_i | #
Das wollten wir beweisen.
