Antworten:
Das definitive Integral ist # 2int_3 ^ 5sqrt (25 - x ^ 2) dx #.
Erläuterung:
Es gibt immer mehrere Wege, um Integrationsprobleme anzugehen, aber so habe ich dieses gelöst:
Wir wissen, dass die Gleichung für unseren Kreis lautet:
# x ^ 2 + y ^ 2 = 25 #
Das bedeutet für jeden # x # Wert können wir die beiden bestimmen # y # Werte oberhalb und unterhalb dieses Punktes auf der x-Achse mit:
# y ^ 2 = 25 - x ^ 2 #
#y = sqrt (25-x ^ 2) #
Stellen wir uns vor, dass eine Linie mit konstantem Abstand vom oberen Rand des Kreises nach unten gezogen wird # x # Wert an einer beliebigen Stelle hat, ist es doppelt so lang # y # durch die obige Gleichung gegebener Wert.
# r = 2sqrt (25 - x ^ 2) #
Da interessiert uns der Bereich zwischen der Linie #x = 3 # und das Ende des Kreises bei #x = 5 #, das werden unsere Grenzen sein. Von diesem Punkt an ist das Schreiben des bestimmten Integrals einfach:
#A = int_3 ^ 5rdx = 2int_3 ^ 5sqrt (25 - x ^ 2) dx #
Antworten:
Als Alternative in Polar
# = 25int_ {0} ^ {arcsin (4/5)} d psi - 12 #
Erläuterung:
Sie können es auch in Polar tun
Der Kreis in Polar ist r = 5 und verwendet die einfachste Flächenformulierung #A = 1/2 int r ^ 2 (psi) d psi # wird unter Verwendung der Symmetrie um die x-Achse
#A = 2 mal (1/2 int_ {0} ^ {arcsin (4/5)} 5 ^ 2 d psi - Farbe {rot} {1/2 * 3 * 4}) #
Das rote Bit ist in der Zeichnung wie in Rot schattiert dargestellt
# = 25int_ {0} ^ {arcsin (4/5)} d psi - 12 #
# = 25 psi _ {0} ^ {arcsin (4/5)} - 12 #
# = 25 Bögen (4/5) - 12 #
