Was sind die Extrema und Sattelpunkte von f (x, y) = xy (1-x-y)?

Antworten:

Die Punkte #(0,0),(1,0)#, und #(0,1)# sind Sattelpunkte. Die Stelle #(1/3,1/3)# ist ein lokaler Maximalpunkt.

Erläuterung:

Wir können expandieren # f # zu #f (x, y) = xy-x ^ 2y-xy ^ 2 #. Finden Sie als Nächstes die partiellen Ableitungen und setzen Sie sie auf Null.

# frac { partial f} { partial x} = y-2xy-y ^ 2 = y (1-2x-y) = 0 #

# frac { partial f} { partial y} = x-x ^ 2-2xy = x (1-x-2y) = 0 #

Deutlich, # (x, y) = (0,0), (1,0), # und #(0,1)# Es gibt Lösungen für dieses System und kritische Punkte von # f #. Die andere Lösung kann vom System gefunden werden # 1-2x-y = 0 #, # 1-x-2y = 0 #. Lösung der ersten Gleichung für # y # bezüglich # x # gibt # y = 1-2x #, die man in die zweite Gleichung einstecken kann # 1-x-2 (1-2x) = 0 => -1 + 3x = 0 => x = 1/3 #. Davon, # y = 1-2 (1/3) = 1-2 / 3 = 1/3 # auch.

Um die Natur dieser kritischen Punkte zu testen, finden wir zweite Ableitungen:

# frac { partial ^ {2} f} { partial x ^ {2}} = - 2y #, # frac { partial ^ {2} f} { partial y ^ {2}} = - 2x #, und # frac { partial ^ {2} f} { partial x partial y} = frac { partial ^ {2} f} { partiell y partiell x} = 1-2x-2y #.

Die Diskriminante ist daher:

# D = 4xy- (1-2x-2y) ^ 2 #

# = 4xy- (1-2x-2y-2x + 4x ^ 2 + 4xy-2y + 4xy + 4y ^ 2) #

# = 4x + 4y-4x ^ 2-4y ^ 2-4xy-1 #

Das Einfügen der ersten drei kritischen Punkte in ergibt:

#D (0,0) = - 1 <0 #, #D (1,0) = 4-4-1 = -1 <0 #, und #D (0,1) = 4-4-1 = -1 <0 #, diese Punkte satteln Punkte.

Einstecken des letzten kritischen Punktes gibt #D (1 / 3,1 / 3) = 4/3 + 4 / 3-4 / 9-4 / 9-4 / 9-1 = 1/3> 0 #. Beachten Sie auch das # frac { partial ^ {2} f} { partial x ^ {2}} (1 / 3,1 / 3) = - 2/3 <0 #. Deshalb, #(1/3,1/3)# ist ein Ort mit einem lokalen Maximalwert von # f #. Sie können überprüfen, ob der lokale Maximalwert selbst ist #f (1 / 3,1 / 3) = 1/27 #.

Unten sehen Sie ein Bild der Konturkarte (von Pegelkurven) von # f # (die Kurven, in denen die Ausgabe von # f # ist konstant) zusammen mit den 4 kritischen Punkten von # f #.

Was sind die Extrema und Sattelpunkte von f (x) = 2x ^ 2 lnx?

Der Definitionsbereich von: f (x) = 2x ^ 2lnx ist das Intervall x in (0, + oo). Bewerten Sie die erste und die zweite Ableitung der Funktion: (df) / dx = 4xlnx + 2x ^ 2 / x = 2x (1 + 2lnx) (d ^ 2f) / dx ^ 2 = 2 (1 + 2lnx) + 2x * 2 / x = 2 + 4lnx + 4 = 6 + lnx Die kritischen Punkte sind die Lösungen von: f '(x) = 0 2x (1 + 2lnx) = 0 und als x> 0: 1 + 2lnx = 0 lnx = -1 / 2 x = 1 / sqrt (e) In diesem Punkt: f '' (1 / sqrte) = 6-1 / 2 = 11/2> 0, so dass der kritische Punkt ein lokales Minimum ist. Die Sattelpunkte sind die Lösungen von: f '' (x) = 0 6 + lnx = 0 lnx = -6 x = 1 / e ^ 6 und da

Was sind die Extrema und Sattelpunkte von f (x, y) = 2x ^ (2) + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2 - y / x?

Diese Funktion hat keine stationären Punkte (sind Sie sicher, dass f (x, y) = 2x ^ 2 + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2 y / x derjenige ist, den Sie studieren wollten ?!). Gemäß der am weitesten verbreiteten Definition von Sattelpunkten (stationäre Punkte, die keine Extrema sind) suchen Sie nach stationären Punkten der Funktion in ihrem Bereich D = (x, y) in RR ^ 2 = RR ^ 2 setminus {(0 , y) in RR ^ 2}. Wir können nun den für f angegebenen Ausdruck auf folgende Weise neu schreiben: f (x, y) = 7x ^ 2 + x ^ 2y ^ 2-y / x Der Weg zu ihrer Identifizierung besteht darin, nach den Punkten zu suchen, die den G

Was sind die Extrema und Sattelpunkte von f (x, y) = 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2?

{: ("Kritischer Punkt", "Schlussfolgerung"), ((0,0), "min"), ((-1, -2), "Sattel"), ((-1,2), "Sattel" ), ((-5 / 3,0), "max"):} Die Theorie zur Identifizierung der Extrema von z = f (x, y) lautet: Lösen Sie gleichzeitig die kritischen Gleichungen (partielles f) / (partielles x) = (partielles f) / (partielles y) = 0 (dh z_x = z_y = 0) Bewerten Sie an jedem dieser kritischen Punkte f_ (xx), f_ (yy) und f_ (xy) (= f_ (yx)) . Berechnen Sie daher an jedem dieser Punkte Delta = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2. Bestimmen Sie die Art der Extrema. {: (Delta> 0, "