Was sind die Extrema und Sattelpunkte von f (x, y) = 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2?

Antworten:

# {: ("Kritischer Punkt", "Schlussfolgerung"), ((0,0), "min"), ((-1, -2), "Sattel"), ((-1,2), "Sattel "), ((-5 / 3,0)," max "):} #

Erläuterung:

Die Theorie, um die Extreme von zu identifizieren # z = f (x, y) # ist:

Lösen Sie gleichzeitig die kritischen Gleichungen

# (teilweises f) / (teilweises x) = (teilweises f) / (teilweises y) = 0 # (dh # z_x = z_y = 0 #)
Bewerten #f_ (x x), f_ (yy) und f_ (xy) (= f_ (yx)) # an jedem dieser kritischen Punkte. Also bewerten # Delta = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 # an jedem dieser Punkte
Bestimmen Sie die Art der Extrema.

# {: (Delta> 0, "Es gibt ein Minimum, wenn" f_ (xx) <0), (, "und ein Maximum, wenn" f_ (yy)> 0), (Delta <0, "es gibt einen Sattelpunkt")), (Delta = 0, "Weitere Analyse erforderlich"):} #

Also haben wir:

# f (x, y) = 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2 #

Lassen Sie uns die ersten partiellen Ableitungen finden:

# (partielles f) / (partielles x) = 6x ^ 2 + y ^ 2 + 10x #

# (partielles f) / (partielles y) = 2xy + 2y #

Unsere kritischen Gleichungen sind also:

# 6x ^ 2 + y ^ 2 + 10x = 0 #

# 2xy + 2y = 0 #

Aus der zweiten Gleichung haben wir:

# 2y (x + 1) = 0 => x = -1, y = 0 #

Subs # x = -1 # in die erste Gleichung und wir bekommen:

# 6 + y ^ 2-10 = 0 => y ^ 2 = 4 => y = + - 2 #

Subs # y = 0 # in die erste Gleichung und wir bekommen:

# 6x ^ 2 + 0 ^ 2 + 10x = 0 => 2x (3x + 5) = 0 => x = -5 / 3,0 #

Und so haben wir vier kritische Punkte mit Koordinaten;

# (-1,-2), (-1,2), (0,0), (-5/3,0) #

Schauen wir uns nun die zweiten partiellen Ableitungen an, um die Art der kritischen Punkte bestimmen zu können:

# (partiell ^ 2f) / (partiell x ^ 2) = 12x + 10 #

# (partiell ^ 2f) / (partiell y ^ 2) = 2x + 2 #

# (partiell ^ 2f) / (partielles x partielles y) = 2y (= (partielles ^ 2f) / (partielles y partielles x)) #

Und wir müssen berechnen:

# Delta = (partiell ^ 2f) / (partiell x ^ 2) (partiell ^ 2f) / (partiell y ^ 2) - ((partiell ^ 2f) / (partiell x partiell y)) ^ 2 #

an jedem kritischen Punkt. Die zweiten partiellen Ableitungswerte #Delta#und Schlussfolgerung lauten wie folgt:

# {: ("Kritischer Punkt", (partiell ^ 2f) / (partiell x ^ 2), (partiell ^ 2f) / (partiell y ^ 2), (partiell ^ 2f) / (partiell x partiell y), Delta, "Schlussfolgerung"), ((0,0), 10,2,0, gt 0, f_ (xx)> 0 => "min"), ((-1, -2), - 2,0,4, 0, "Sattel"), ((-1,2), - 2,0,4, lt 0, "Sattel"), ((-5 / 3,0), - 10, -4 / 3,0, gt 0, f_ (xx) <0 => "max"):} #

Wir können diese kritischen Punkte sehen, wenn wir eine 3D-Darstellung betrachten: