Beginnen wir mit der Funktion ohne # m #:
# x ^ 3-2x ^ 2 + 2x = x (x ^ 2-2x + 2) #
Diese Funktion hat sicherlich # x = 0 # als root, da wir fakturiert haben # x #.
Die anderen Wurzeln sind Lösungen von # x ^ 2-2x + 2 = 0 #, aber diese Parabel hat keine Wurzeln. Dies bedeutet, dass das ursprüngliche Polynom nur eine Wurzel hat.
Nun ein Polynom #p (x) # von ungerade grad hat immer mindestens eine lösung, denn du hast
#lim_ {x to- infty} p (x) = - infty # und #lim_ {x an infty} p (x) = infty #
und #p (x) # ist ununterbrochen, so muss es das überqueren # x # Achse irgendwann.
Die Antwort kommt aus den folgenden zwei Ergebnissen:
- Ein Polynom von Grad # n # hat genau # n # komplexe Wurzeln, aber maximal # n # echte Wurzeln
- Angesichts der Grafik von #f (x) #das Diagramm von #f (x) + k # hat die gleiche Form, wird aber vertikal verschoben (nach oben, wenn #k> 0 #, abwärts sonst).
Also fangen wir an # x ^ 3-2x ^ 2 + 2x #, die nur eine echte Wurzel hat (und somit zwei komplexe Wurzeln) und wir verwandeln sie in # x ^ 3-2x ^ 2 + 2x + m #Das heißt, wir übersetzen es nach oben oder unten, sodass die Anzahl der Lösungen nicht geändert wird.
Einige Beispiele:
Ursprüngliche Funktion: # y = x ^ 3-2x ^ 2 + 2x #
Graph {x ^ 3-2x ^ 2 + 2x -3 3 -4 4}
Übersetzen Sie nach: # y = x ^ 3-2x ^ 2 + 2x + 2 #
Graph {x ^ 3-2x ^ 2 + 2x + 2 -3 3 -4 4}
Nach unten übersetzen: # y = x ^ 3-2x ^ 2 + 2x-3 #
Graph {x ^ 3-2x ^ 2 + 2x-3 -3 3 -4 4}
Wie Sie sehen, gibt es immer eine Wurzel
Antworten:
Siehe unten
Erläuterung:
Eine alternative, vielleicht elegantere Lösung:
Das Derivat Ihres Polynoms ist # 3x ^ 2-4x + 2 #, das ist eine konkave Parabel ohne Wurzeln und somit immer positiv. So, # f # ist:
- Monoton steigend
- #lim_ {x an pm infty} f (x) = pm infty #
- # "deg" (f) = 3 #
Die ersten beiden Punkte zeigen das # f # hat genau eine Wurzel und die dritte, dass die beiden anderen Wurzeln komplex sind.
