Beweisen Sie, dass die Leistung ein Feld ist?

Antworten:

Die Potenzmenge eines Satzes ist ein kommutativer Ring unter den natürlichen Operationen der Vereinigung und der Kreuzung, aber kein Feld unter diesen Operationen, da ihm die inversen Elemente fehlen.

Erläuterung:

Gegebenes Set # S #, betrachte die Leistung # 2 ^ S # von # S #.

Dies hat natürliche Operationen der Vereinigung # uu # was sich wie ein Zusatz mit einer Identität verhält #O/# und Kreuzung # nn # die sich wie Multiplikation mit einer Identität verhält # S #.

Genauer:

• # 2 ^ S # ist unter geschlossen # uu #

  Ob #A, B in 2 ^ S # dann #A uu B in 2 ^ S #

• Es gibt eine Identität # O / in 2 ^ S # zum # uu #

  Ob #A in 2 ^ S # dann #Auu O / = O / Uu A = A #

• # uu # ist assoziativ

  Ob #A, B, C in 2 ^ S # dann #Auu (BuuC) = (AuuB) uu C #

• # uu # ist kommutativ

  Ob #A, B in 2 ^ S # dann #Auu B = Buu A #

• # 2 ^ S # ist unter geschlossen # nn #

  Ob #A, B in 2 ^ S # dann #A nn B in 2 ^ S #

• Es gibt eine Identität #S in 2 ^ S # zum # nn #

  Ob #A in 2 ^ S # dann #A nn S = S nn A = A #

• # nn # ist assoziativ

  Ob #A, B, C in 2 ^ S # dann #Ann (BnnC) = (AnnB) nnC #

• # nn # ist kommutativ

  Ob #A, B in 2 ^ S # dann #A nn B = B nn A #

• # nn # ist links und rechts distributiv vorbei # uu #

  Ob #A, B in 2 ^ S # dann #Ann (BuuC) = (AnnB) uu (AnnC) #

  und # (A uu B) nn C = (A nn C) uu (B nn C) #

So # 2 ^ S # erfüllt alle erforderlichen Axiome, um ein kommutativer Ring mit Zusatz zu sein # uu # und Multiplikation # nn #.

Ob #S = O / # dann # 2 ^ S # hat nämlich ein Element #O/#Daher weist es keine eindeutigen additiven und multiplikativen Identitäten auf und ist daher kein Feld.

Ansonsten beachten Sie das # S # hat keine inverse unter # uu # und #O/# hat keine inverse unter # nn #. So # 2 ^ S # bildet kein Feld, da keine inversen Elemente vorhanden sind.