Wie können Sie die Poisson-Verteilung beweisen?

Antworten:

# "Siehe Erklärung" #

Erläuterung:

# "Wir nehmen eine Zeitspanne mit der Länge" t ", bestehend aus n Teilen" #

#Delta t = t / n ". Angenommen, die Chance für ein erfolgreiches Ereignis" #

# "in einem Stück ist" p ", dann die Gesamtzahl der Ereignisse im n" #

# "Uhren werden nach" # binomial verteilt "

#p_x (x) = C (n, x) p ^ x (1-p) ^ (n-x), x = 0,1, …, n #

# "mit" C (n, k) = (n!) / ((n-k)! * (k!)) "(Kombinationen)" #

# "Jetzt lassen wir" #

# n-> oo ", also" p-> 0 ", aber" n * p = lambda #

# "So ersetzen wir" p = lambda / n "in" p_x ":" #

#p_x (x) = (n!) / ((x!) (n-x)!) (Lambda / n) ^ x (1-Lambda / n) ^ (n-x) #

# = Lambda ^ x / (x!) (1-Lambda / n) ^ n (n!) / ((n-x)!) * 1 / (n ^ x (1-Lambda / n) ^ x) #

# = Lambda ^ x / (x!) (1-Lambda / n) ^ n (n (n-1) (n-2) … (n-x + 1)) / (n (1-Lambda / n)) ^ x #

# "für" n -> oo ", was zwischen …" -> 1 "und" # "liegt

# (1 - Lambda / n) ^ n -> e ^ -lambda "(Eulers Limit)," #

# "so erhalten wir" #

#p_x (x) = (Lambda ^ x e ^ -Lambda) / (x!), x = 0,1,2, …, oo #