Ein Dreieck hat Ecken bei (5, 5), (9, 4) und (1, 8). Wie groß ist der Radius des Kreises des Dreiecks?

Antworten:

#r = {8} / { sqrt {17} + 4 sqrt {5} + 5} #

Erläuterung:

Wir nennen die Ecken Scheitelpunkte.

Lassen # r # sei der Radius des Inkreises mit der Eindringung I. Die Senkrechte von I zu jeder Seite ist der Radius # r #. Das bildet die Höhe eines Dreiecks, dessen Basis eine Seite ist. Die drei Dreiecke bilden zusammen das ursprüngliche Dreieck, also seine Fläche #mathcal {A} # ist

# mathcal {A} = 1/2 r (a + b + c) #

Wir haben

# a ^ 2 = (9-5) ^ 2 + (4-5) ^ 2 = 17 #

# b ^ 2 = (9-1) ^ 2 + (8-4) ^ 2 = 80 #

# c ^ 2 = (5-1) ^ 2 + (8-5) ^ 2 = 25 #

Das Gebiet #mathcal {A} # eines Dreiecks mit Seiten #ABC# erfüllt

# 16mathcal {A} ^ 2 = 4a ^ 2 b ^ 2 - (c ^ 2 - a ^ 2 - b ^ 2) ^ 2 #

# 16 mathcal {A} ^ 2 = 4 (17) (80) - (25 - 17 - 80) ^ 2 = 256 #

#mathcal {A} = sqrt {256/16} = 4 #

#r = {2 mathcal {A}} / (a + b + c) #

#r = {8} / { sqrt {17} + sqrt {80} + sqrt {25}} #